1.7. Обобщённое энтропийное решение

В теории задачи Коши для уравнения (1.12) с начальным условием

(1.21) может возникнуть следующая ситуация: 1) При некоторых ограниченных гладких (бесконечно дифференцируемых) начальных функциях u₀(x) решение является гладкой функцией до момента времени T, а предел – это кусочно-гладкая функция с разрывами первого рода. Для построения нелокальной теории задачи (1.12) и (1.21) необходимо рассмотреть разрывные решения. 2) Естественный подход к введению разрывных решений – это подход «в смысле теории распределений (обобщённых функций)». В классе локально ограниченных измеримых в П_Т функций можно рассматривать обобщённые решения u(t, x) в смысле интегрального тождества

(1.22) справедливого для любой «пробной» функции . Тем не менее, необходимо найти соответствующие необходимые условия на разрывы, т.к. при таком понимании обобщённого решения возникает эффект неединственности, связанный с наличием разрывов у решения.

Соответствующие необходимые условия на разрывы называются условиями допустимости разрыва. У решения u(t, x) уравнения (1.12) возможен скачок от к при выполнении конкретных условий, представленных на рисунке 3: 1. При график функции f(u) на отрезке должен быть расположен не ниже хорды с концами и ; 2. при график функции f(u) на отрезке должен быть расположен не выше хорды с концами и .

Рис. 1.3. Условия допустимости разрыва

Полученные выше условия допустимости разрыва являются условиями типа «возрастания энтропии». К ним относятся все неравенства, характеризующие необратимость природных процессов. Пример такого процесса – это функция-энтропия S, выражаемая через характеристики состояния газа и не убывающая во времени при переходе через ударную волну Г:

(1.23)