Условия и ряд Дирихле

Условия. Представление о функции f(x) тригонометрическим рядом

было не обоснованным, так как возникает два вопроса:

1. Ряд 1 сходится ли

2. Если да, то сумма его равна ли f(x).

Рассмотрим условия накладываемые на функцию f(x)

1. Функция f(x) – непрерывна, а если разрывна, то разрывы должны быть первого рода, причём число разрывов на интервале минус пи – пи – конечно.

2. Промежуток (-;) можно разбить на конечное число промежутков, в которыхf(x) непрерывна и монотонна. Эти два условия называются условиями Дирихле.

Теорема Дирихле: если функцияf(x) на интервале минус пи – пи удовлетворяет условиям Дирихле, то ряд Фурье этой функции сходится и сумма этого ряда равна:

1. Функцииf(x) в точках непрерывности.S(x)=f(x)

2. В точках разрыва первого рода сумма равна s(x)=[f(x+0)+f(x-0)]/2

3. На концах промежутка (-;)S() = [f(-+0) +f(-0)]/2

Рядом Дирихле называется знакоположительных ряд.

- Ряд Дирихле

При =1 ряд Дирихле становится гармоническим.

Для исследования его сходимости используем интегральный признак сходимости.

этот ряд сходятся или расходятся одновременно. Такоё интеграл сходится при > 1 и расходится при≤ 1.