Степенные ряды. Теорема Абеля.

Ряды вида: a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_nxⁿ+… (1) называется степенными функциональными рядами.

Сходимость степенного ряда устанавливаем с помощью теоремы Абеля: Если степенной ряд сходится при x=x₀, то он сходится и причём абсолютно при всех |x|>|x₀|, а если он расходится приx₀, то он расходится и при всех |x|>|x₀|.

Доказательство: Допустим, что при x=x₀ряд (1) сходится. Докажем, что приx<x₀ряд будет сходится так как приx=x₀ряд (1) сходится, то:

то есть будет такое M, что |a_nxⁿ|<M

Рассмотрим x<x₀или |x/x₀|<q<1

Из (2) видно, что в правой части неравенства находится геометрическая прогрессия со знаменателем q<1, которая сходится, тогда по 1 признаку сравнения должен сходится и ряд в левой части, т. е. ряд (1) должен сходится.

Второе утверждение теоремы, что при x>x₀ряд будет расходится и |x|>|x₀|

10 Если x₀обозначим черезR. Если приx=Rряд сходится, то он будет сходится для |x|<|R|, гдеR– радиус сходимости.

Чтобы найти радиус сходимости, нужно воспользоваться признаком Доломбера: найти предел модуля отношения

Где x– параметр. И из решения неравенства |q(x)|<1 найдёмR.

При этом границы интервала нужно исследовать дополнительно.

α<x<βпри этомx=αиx=βподставляем в исходный функциональный ряд, получаем числовой ряд, который сходится или нет. Если сходится то ≤, если нет, то знак строгий.

Пример:

при x=-3

Получаем: -3 ≤ x< 3

Имеем знакочередующийся ряд по признаку Лейбница ряд сходится

1.

2. |U₁|>|U₂|>…

x=3