Признак равномерной сходимости функционального ряда (Вейерштрасса)

Пусть дан функциональный ряд

U₁(x)+U₂(x)+…+U_n(x)+…

Если найдётся последовательность чисел M₁,M₂,M₃, …,M_n, … - моделирующих ряд

И если при всех Mвыполняется неравенство |U_n(x)|<M_nи рядM₁+M₂+…+M_n+…- сходящийся, то данный функциональный ряд сходится равномерно

Доказательство:

Mn–сходится, тогда остаток этого рядаr_n=M_n+1+M_n+2+M_n+p+…<ε

Но с учётом того, что имеет место неравенство между членами функционального U(x) и числовогоMn, то

|U_n(x)|<M_nмодуль суммы<суммы модуля

|r_n(x)|=|U_n+1(x)+U_n+2(x)+…+U_n+p(x)+…|< ε

По определению функциональный ряд сходится равномерно.

Пример:Дан ряд

при x=0 можем подключить «=» к знаку больше, но лучше быx≠0 так как нам не охота смотреть как он будет сходится. Данный ряд сходится равномерноx≠0