Тройной интеграл и задачи приводящие к нему.

Пусть требуется вычислить массу тела неправильной формы с плотностью различной в каждой точке тела.m=V. Пусть плотность тела задана функцией=f(x,y,z). Скорректируем тело надxOyи воспользуемся общей схемой применения трехкратного интеграла:

1. Разобьем область и затем само тело на n-элементарных объёмов.

2. Предположим, что внутри элементарного объёма постоянна и равна значению функцииf(Mi), гдеMi– внутренняя точко элементарного объёма

3. mi=F(Mi)Vi

5. Чтобы получить точное значение массы тела перейдём к пределу, т. е. неограниченному разбиению тела на n-частей так, чтобыmaxдиаметр элементарной области стремился к 0. Диаметром элементарной области наз. расстояние между двумя наиболее удалёнными точками:

Вычисление 3 кратного интеграла в декартовой системе координат.

Если объём тела представляет собой параллелепипед, то:

При расстановке и смене порядка интегрирования пользуются правилом: «от точки до точки, от кривой до кривой, от поверхности до поверхности».

Вычисление тройного интеграла в цилиндрической и сферической системе координат.

Чтобы упростить процедуру вычисления кратного интеграла пользуемся различными приемами координат. Т.к. в декартовой системе вычислять удобно тройной интеграл если область интегрирования имеет прямоугольную форму. А если область имеет цилиндрическую или сферическую, то нужно перейти к полярной, цилиндрической или сферической СК. Чтобы вычислить тройной интеграл в цилиндр или сферич СК нужно:

1. Перейти в соответствующей СК к подынтегральной функции.

2. Вычислить Я и подставить его в интеграл

3. Расставить пределы интегрирования в соответствующей СК.

Для примера запишем тройной интеграл в сферической СК.

согласно рисунку:

Найдём Якобиан:

=r²sin

Следовательно, если при (x,y,z)(r,,) подынтегральная функция примет видf(x,y,z)g(r,,), то

Для примера вычислим объём шара. Для этого возьмём ⅛ часть его объёма

Что и требовалось доказать.