Числовые ряды

Пусть дана некоторая последовательность чисел

U₁, U₂, U₃, … , U_n (1)

С числовыми последовательностями и рядами мы встречались и ранее, арифметическая и геометрическая последовательности тоже примера числового ряда.

Образуем частичные суммы из чисел последовательности (1)

S₁ =U₁

S₂ =U₁ + U₂

S₃ =U₁ + U₂ + U₃

S_n =U₁ + U₂ + U₃ + … +U_n

Получается некоторая последовательность

S₁, S₂, S₃, …, S_n (2)

Если существует предел последовательности частичных сумм (2)

- сумма ряда

Поэтому числовой ряд записывают как сумму

U₁ + U₂ + U₃ + … + U_n+ … -

Сумма: S-S_n=r_n, гдеr_n- остаток ряда

Основным показателем числового ряда является его сходимость. Если числовой ряд имеет конечную сумму, то он сходится, в противном случае – расходится, во всех приложениях используются только сходящиеся ряды.

Рассмотрим примеры некоторых числовых рядов.

Этот ряд ещё называется гармоническим

Для установления сходимости данного ряда запишем его в виде:

Заменим в группах чисел в скобках наименьшим

как это можно видеть