Функциональные ряды.

Пусть имеется некоторая последовательность функций.

U₁(x), U₂(x), …, U_n(x), … Образуя из членов этой последовательности рядU₁(x)+U₂(x)+ …+U_n(x)+ … (1)

Ряд (1) называем функциональным и данный ряд при некоторых xможет сходится, при другихxрасходится.

Если (1) сходится в каждой точке xинтервалаAB, то ряд сходится на интервалеAB.

Если сходится последовательность частичных сумм S_n(x), то ряд сходится и сумма его естьS(x)

Остаток ряда S(x)-S_n(x)=r_n(x) – остаток

Функциональный ряд может сходится вообще, а может сходится равномерно на некотором интервале.

Понятия равномерного (правильного) функционального ряда позволяет проводить операции дифференцированного интегрирования. Функциональный ряд сходится равномерно, если для сколь угодно малого положительного числа εнайдется такой номерN, начиная с которого выполняется неравенство |r_n(x)|< ε

При этом Nне должно зависеть отx.

|r_n(x)| = |-S_n(x) + S(x)| < ε

Рассмотрим предел равномерной и неравномерной сходимости числового ряда

при раскрытии скобок

S₁(x)=1/(x+1)

S₂(x)=1/(x+2)

S₃(x)=1/(x+3)

S₁₁(x)=1/(x+11)

Вывод:нетрудно видеть, что начиная с некоторогоN=10 S₁₁и далее все частичные суммы попадают в коридорεS(x)=0 при этомN– номер не зависящий отx.