Знакочередующиеся ряды и признак Лейбница

Если члены числового ряда имеют знаки +/- чередующиеся т.е. соседние члены имеют разные знаки – то это знакочередующийся ряд.

Чтобы установить сходимость знакочередующегося ряда есть признак Лейбница.

Знакочередующийся ряд сходится если первые члены ряда по абсолютной величине монотонно убывают.

|U₁|>|U₂|>|U₃|>…>|U_n| то есть

Если это условие выполняется, то ряд сходится.

Доказательство: U₁-U₂+U₃-…-U_n+U_n+1-…

Рассмотрим частичные суммы ряда, сначала чётные S_2n, а потом нечётныеS_2n+1. Чтобы показать, что частичные суммы ряда имеют предел, нужно установить:

1. Что последовательность частичных сумм возрастает

2. Что данная последовательность ограниченна.

Тогда по признаку Вейерштрасса последовательность сходится.

S_2n =U₁+(U₂-U₃)+(U₄-U₅)+…

В скобках находятся положительные величины

S_2n =U₁-(U₂-U₃)-(U₄-U₅)-…- (U_2n-2-U_2n-1)-U_2n

Ввиду первого условия (что члены ряда по модулю убывают) выражения в скобках – положительные, тогда

S_2n<U₁т. е.S_2n– величина ограниченная, с другой стороныS_2n+2=S_2n+(S_2n+1-S_2n+2)

Из последнего равенства видно, что последовательность чётных частичных сумм есть возрастающая последовательность по первому условию ограниченная и по признаку Вейерштрасса сходится

Если возьмём нечетную частичную последовательность, покажем, что она сходится.

S_2n+1=S_2n+U_2n+1

По второму условия если предел n-го члена =0,то сходится

Sтогда и последовательность нечётных сумм сходится и имеет пределS.

1. Ряд знакочередующийся

Ряд сходится