1.8. Задача Римана о распаде разрыва

Выполнение задания моей дипломной работы связано с решением задачи о распаде разрыва. В этом параграфе будет разобрано похожее решение, отличающееся предварительными условиями.

Существует задача Римана о распаде произвольного разрыва для уравнения (1.12). В рамках неё строятся обобщённые решения u(t, x) в полосе нижеприведённой задачи:

(1.24) где u_- и u₊ - произвольные константы. Построенные решения - это кусочно гладкие функции в П_Т, удовлетворяющие на каждой компоненте условию Ранкина-Гюгонио (1.15) и условию возрастания энтропии. Построенные решения u(t, x) будут стремиться к u₀(x) при везде, кроме x = 0.

Исходное уравнение не меняется при замене , начальное условие переходит в себя при растяжениях . Условие возрастания энтропии инвариантно относительно указанного преобразования. В силу единственности, при , , функция u(t, x) переходит в себя, оставаясь постоянной на всех лучах выходящих из начала координат, и являясь функцией от :

(1.25) Решения, зависящие от , - это автомодельные решения.

Рассмотрим несколько примеров, связанных с задачей Римана о распаде разрыва. В рамках первого примера рассмотрим задачу (1.24) в случае :

(1.26)

Подставив решения (1.25) в уравнения (1.26), получим:

, таким образом, либо u^’ = 0 , u ≡ C – константа, либо u = x/t.

Для удовлетворения начальному условию u₀(x) нужно прежде всего выяснить, по каким лучам можно стыковать различные константы, константу и функцию x/t. Постоянные функции u(t, x) ≡ u₁ и u(t, x) ≡ u₂, где u_i = Const, стыкуются по прямой

Скачок возможен только в сторону уменьшения u (при росте x). Если для определённости u₂ > u₁, то u(t, x) = u₂ при , и u(t, x) = u₁ при .

Если константа u (t, x) ≡ u₃ = Const и функция u(t, x) = x/t стыкуются по лучу x = ξt, то предел функции x/t при подходе к лучу равен ξ. Из условия Ранкина-Гюгонио следует:

, т.е. ξ = u₃. Из этого следует, что полученная функция непрерывна на луче стыковки x = ξt = u₃t, t>0, разрыв – слабый.

При решении задачи Римана о распаде разрыва возникают две ситуации: 1. При решение строится в виде ударной волны – двух констант и , соединённых по лучу , по условию Ранкина-Гюгонио:

(1.27) как показано на рисунке 4:

Рис. 1.4. График ударной волны

2. При строить решение можно с помощью функции x/t, стыкующейся с константами и :

(1.28)

Полученное решение непрерывно во всей полуплоскости t > 0. Угол u_-t < x < u₊t <, t > 0, в котором происходит сглаживание разрывных начальных условие – это область разрежения. Решение (1.28) – это центрированная волна разрежения. Оно представлено на рисунке 5.

Рис. 1.5. Центрированная волна разрежения

При u_- > u₊ формула (1.28) не задаёт функции в полуплоскости t > 0.

Второй пример решения задачи Римана о распаде разрыва (1.24) связан с выпуклой вниз функцией f(u). Решение в этом примере отличается от предыдущего тем, что вместо непостоянного гладкого автомодельного решения x/t уравнения Хопфа используется функция ψ(x/t). Чтобы найти данную функцию, необходимо подставить уравнение (1.25) в функцию (1.24).

Мы получили функцию u(ξ) = ψ(ξ), являющуюся решением уравнения из чего следует, что ψ – функция, обратная к . Поскольку f – выпуклая функция, соответственно, функция ψ существует, а из этих двух фактов можно сделать вывод, что - монотонная функция. Так мы выделяем понятие, именуемое волной разрежения. Оно означает последнее найденное решение u = ψ(x/t), разрывное в (0, 0) и непрерывное при t > 0.

Решение задачи Римана в случае выпуклой вниз функции выглядит так: 1) При решение строится в виде ударной волны путём стыковки двух констант и в соответствии с условием Ранкина-Гюгонио по лучу :

(1.29)

2) При решение нужно находить, склеив константы и с построенным решением ψ(x/t) и найдя лучи склейки и из условий непрерывности решения на этих лучах: , либо :

(1.30)

Функция состояния f(u) выпукла вниз, из чего следует, что монотонно возрастает, и при Всё это говорит о том, что функция, заданная в (1.28) определена корректно при t > 0.

Волна разрежения ψ (x/t), будучи непрерывной при t > 0 функцией, принимает все возможные значения между и . Условие равносильно . Некоторое фиксированное значение u₀ волной разрежения ψ(x/t) принимается на луче где t>0, параллельном касательной к графику функции f = f(u), построенной в точке (u₀, f(u₀)). Так получается доказательство утверждения: линии слабого разрыва решения u(t, x), задаваемого формулой (1.30), параллельны касательным к графику функции f = f(u), построенным в крайних точках .

В случае выпуклой вверх функции f(u) решение будет строиться наоборот: в случае результат задачи Римана будет представлять собой ударную волну, как в функции (1.29); при решение задаётся, как показано в функции (1.30).