5.5Признак сравнения рядов

Пусть даны 2 ряда с неотр членами

a₁+a₂+…..+a_n+….(1) a_n>=0

b₁+b₂+…+b_n+…(2) b_n>=0

и для всех n или начин с некотор номера n выполн неравенство a_n<=b_n(3) , тогда 1) из сход ряда (2) следует сход ряда (1)

2) из расход ряда 1, следует расход ряда (2)

док-во:1) обозн через S_n и _n – частичные суммы ряда (1) и (2). Т.к. ряд (2) сход то его част суммы _n ограниченны из нер-ва (3)=> что S_n =< _n => {S_n} тоже огранич. Т.к. члены ряда (1) не отриц, то последов частичн сумм S_n не убыв. Итак мы получ что послед S_n не убыв и огранич => она сход, а знач сходится и (1)

2) пусть (1) расход. Док-ем что (2) тоже расх. Предпол, что (2) – сход, а т.к. a_n=<b_n, то из первой части теоремы => (1) – сход, что противор усл теоремы => (2) расход

Призн сравн в пред форме.

Пусть члены ряда (1) , (2) полож и сущ => =L (0<L< )

Тогда эти ряды одновр сход или расход

4.6 Однородные линейные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами.

Линейные ДУ второго порядка.

A(x)y'' + B(x)y' + K(x)y=ƒ(x) , где А(х) не≡ 0

A(x), B(x), K(x), ƒ(x) – непрерывны на некотором множестве, если ƒ(x)≡0, то урав-ние называется линейным однородным уравнением. Если ƒ(x)не≡0, то урав-ние называется неоднородным.

Задача Коши.

Найти решение ДУ у=φ(х) (1), удовлетв. следующим условиям:

y(x₀)=y₀

y'(x₀)=y'₀ , где x₀, y₀, y'₀ – данные числа

Если в уравнении (1) все слагаемые не А(х),то его можно привести к следующ. виду:

y″+ P(x)y' + q(x)y=Q(x) (2)

Свойства решений линейных однородных уравнений второго порядка.

Теорема 1.Если функции y₁=y₁(x), y₂₌ y₂(x) являются решениями линейного однор. уравн. второго порядка y″+ P(x)y' + q(x)y=0, то функция у=С₁·y₁(x) +С₂·y₂(x) является также решением уравнения (2).

Док-во:

y'=C₁y₁'+C₂y₂'

y″= C₁y₁″+ C₂y₂''

В левую часть урав-ния (2) вместо y,y',y″ подставим эти уравнения.

C₁y₁″+ C₂y₂''+P(x)· C₁y₁'+ P(x)· C₂y₂' + q(x)· C₁y₁ + q(x)· C₂y₂ =

=C₁(y₁″+ P(x)y₁' + q(x)y₁) + C₂ (y₂'' + P(x)y₂' + q(x)y₂) ≡0

Т.к. по условию теоремы ф-ции y₁(x) и y₂(x) явл-ся решением урав-ния (2), то каждая из скобок тождественно равна 0. Следовательно, у=С₁·y₁(x) +С₂·y₂(x) явл-ся решением уравнения (2)

Следствие: Если функция y=y₁(x) явл-ся решением урав-ния (2), то и функция у=С₁·y₁(x),

где С –постоянная, тоже явл-ся решением этого ур–ния.

Определение: 2 решения y₁=y₁(x) и y₂₌ y₂(x) уравнения (2) назыв-ся линейно независимыми если их отношение не≡const , в противоположном случае они назыв.

линейно зависим.

Теорема 2 (об общем решении). Если y₁(x), y₂(x) линейно независимые решения урав-ния (2), то функция у=С₁·y₁(x) +С₂·y₂(x) явл-ся общим решением уравнения (2), С₁,С₂ – произв. постоянные.

Линейные однородные ур-ния второго порядка с постоянными коэф-тами.

Это уравнения вида: y″+py'+qy=0, где p,q – действ.числа (1)

Уравнение к²+pk +q=0 называетя характеристическим уравнением. (2)