5.1 Понятие числового ряда и сумма ряда.

Пусть дана последовательность а₁, а₂, а₃,…, а_n ... Выражение а₁+а₂+а₃+...+а_n... называется числовым рядом. Числа а₁, а₂, а₃ – называются членами ряда, а_n - общий член ряда (n –ый член ряда)

1+1\2+1\4+1\8+1\16+...+1\2ⁿ+…=2

1\2+1\4+1\8+1\16+…+1\2ⁿ +...=1

Геометрический ряд.

Члены этого ряда образуют геометрическую прогрессию со знаменателе q

b ₁+b₁q+b₁q²+b₁q³+…+b₁q^n-1+…

1) │q│< 1 S _n =

= = /т.к.!q!<1/ =

Ряд сходится и его сумма S= , если│q│<1.

2) │q│>1 =+∞ (т.к. │q│>1)

) q = 1 5.6Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.

Ряд наз-ся знакопеременным, если его членами являются действительные числа произвольного знака.

Пусть дан знакопеременный ряд a₁+a₂+…+a_n+…= (1), где числа a₁, a₂,…, a_n,… могут быть как положительными, так и отрицательными. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда: (2).

Определение: Если сходится ряд (2), то ряд (1) наз-ся абсолютно сходящимся. Если ряд (1) сходится, алгоритм ряд (2) расходится, то ряд (1) называется условно(или неабсолютно) сходящимся.

Теорема: Если знакопеременный ряд абсолютно сходится, то он сходится.

Док-во: Пусть знакопеременный ряд (1) абсолютно сходится. Это значит, что сходится ряд (2). Обозначим через S_n частичную сумму ряда (1), алгоритм через σ_n – частичную сумму ряда (2):

Т.к. ряд (2) сходится, то последовательность {σ_n} его частичных сумм имеет предел , причем σ_n≤σ n (3), т.к. члены ряда (2) положительны. Обозначим далее через сумму положительных членов, алгоритм через -- сумму абсолютных величин отрицательных членов, содержащихся в сумме S_n. Тогда:

(4)

(5)

Из рав-ва (5) следует, что { } и { } монотонно возрастают при возрастании n, алгоритм из (3) – что они являются ограниченными; Следовательно, существуют пределы

Тогда в силу равенства (4) последовательность частичных сумм ряда (1) имеет предел

алгоритм это значит, что ряд (1) сходится.