6.5.Ряды Тейлора и Маклорена.

Пусть задана f(x) в окрестности точки x= x₀

Предположим, что f(x) разлагается в ряд по степеням (x- x₀): т.е. ряд имеет вид

f(x)= a₀ + a₁( x - x₀)+ a₂( x - x₀)²+…+ a_n( x - x₀)ⁿ +…

с радиусом сходимости R ,(| x - x₀ |<R)

Этот ряд на интервале сходимости | x - x₀ |<R можно дифференцировать бесконечно число раз:

f ⁿ(x)=n∙(n-1)∙ …∙ a_n+(n+1) ∙n∙…∙3∙2a_n+1∙( x - x₀) +…

Положим в каждом равенстве x= x₀ . Тогда последовательно получаем коэффициенты Тейлора:

a₀=f(x₀), a₁=(f ’(x₀))/1!, a₂=(f ’’(x₀))/2!,… a_n=( f ⁿ (x₀))/n!

Итак, если функция f(x) разлагается в ряд по степеням ( x - x₀), то этот ряд имеет вид :

f(x)= f(x₀)+ f ’(x₀) ( x - x₀)+ (f ’(x₀) ( x - x₀)²)/2!+…+ =( f ⁿ (x₀) ( x - x₀)ⁿ)/n! +…= ( f ⁿ (x₀) ( x - x₀)ⁿ)/n!

Определение. Степенной ряд такого вида называется рядом Тейлора функции f(x) в точке x₀ . Если x₀ = 0 , то такой ряд называется рядом Маклорена.

Теорема. (дост. условие разложения в ряд Тейлора).

Если функция f(x) и ее производные любого порядка ограничены в окрестности точки x_0: (| x - x₀ |<R) одним и тем же числом M, то ее ряд Тейлора сходится к самой f(x ) для любого x из этой окрестности | x - x₀ |<R . Если функция f(x) разложима в ряд Тейлора, то это разложение единственно.

Остаточный член ряда Тейлора.

Обозначим T_n (x) сумму первых членов ряда Тейлора:

T_n (x) = f(x₀)+ f ’(x₀) ( x - x₀)+…+ =( f ⁿ (x₀) ( x - x₀)ⁿ)/n!

Остаточным членом ряда Тейлора называют разность:

R_n (x) = f(x)+ T_n (x)

Таким образом, имеет место формула Тейлора:

f(x)= f(x₀)+ f ’(x₀) ( x - x₀)+…+ =( f ⁿ (x₀) ( x - x₀)ⁿ)/n!+ R_n (x)

Важно знать, как устроен остаток R_n (x)

Теорема. Если функция f(x) имеет производную (n+1)-го порядка f ⁽ⁿ⁺¹⁾(x) в окрестности точки x₀ , то остаточный член имеет вид:

R_n (x) = ( x - x₀)ⁿ⁺¹)/(n+1)!∙ f ⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ), где ξ -некоторая точка, лежащая между x и x₀ .

Само по себе выражение для R_n (x) не дает возможности вычислять его величину, так как неизвестна точка ξ , в которой f ⁽ⁿ⁺¹⁾(x) вычисляется .