3.6 Приложение определенного интеграла в геометрии

Площадь плоской фигуры.

Площадь криволинейной трапеции, прилежащей к оси ОХ и ограниченной линиями у=f(x)>=0, x=a, x=b, y=0 находится по формуле . Если фигура ограничена линиями у=f(x), y=(x),

x=a, x=b, то площадь находится по формуле f(x) - (x))dx (кривая f(x) лежит выше кривой (x) ). Площадь криволинейной трапеции прилежащей к оси ОУ находится по формуле (y)dy. 2.Объем тела вращения.

Найдем объем тела, полученного при вращении вокруг оси ОХ криволинейной трапеции, ограниченной линиями у=f(x)>=0, x=a, x=b, y=0. Предположим, что f(х) - непрерывная функция. Разобьем отрезок [a;b] на n равных частей точками a=x_o< x₁< x₂<…< x _n-1<x _n = b. Через каждую точку деления проведем плоскость  оси ОХ. Все тело разобьется на n слоев. На каждом из частичных отрезков [х_i-1; x_i] выберем произвольным образом точку х_i-1<=<= x_{i .} Объем каждого слоя заменим объемом цилиндра, высота которого  x_{i ,} а R= f(). Объем ступенчатого тела =f²(₁)  x₁ +f²(₂)  x₂ +…+ f²(_n)  x_n = f²(_i)  x_i . Это интегральная сумма для функции f²(x) на отрезке [a;b] . Т.к. функция f(x) непрерывна, то существует предел =  f²(_i)  x_i = = {x_i}. Этот предел и принимает за объем тела, полученного при вращении криволинейной трапеции оси ОХ. V= (вращение вокруг оси ОХ). V= (вращение вокруг оси ОУ). 3.Длина дуги кривой. Под длиной дуги понимают предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной возрастает неограниченно, а долина наибольшего звена стремится к нулю. В этом случае кривая называется спрямляемой. Пусть кривая задана непрерывной функцией y=f(х), которая имеет непрерывную производную f ’(х) на отрезке [a,b] , т.е. кривая является гладкой. Впишем в данную кривую ломаную линию М₀М₁…Мn, где М₀=А(а, f(а)) и Мn=В(b,f(b)). Проэцируем М_k-1M_k на ось Ох, получаем разбиение {x_k} отрезка [a,b]. Пусть y_k – приращение функции f(х) на отрезке [x_k-1x_k]. По т Пифагора . По т. Лагранжа о конечных приращениях : y_k=x_kf ’( _k) ( _k[ x_k-1x_k]), М_k-1M_k= x_k. Длина всей ломаной: = x_k. Тогда предел интегральн. суммы: l= x_k.

3.7 Теорема о среднем значении функции

Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то на этом отрезке существует точка c € [a, b] такая, что Доказательство: Т.к. функция f(x) непрерывна на [a, b], то на этом отрезке она принимает свое наименьшее значение m и наибольшее значение M, тогда . Составим интегральную сумму для функции m, f(x), M.

в последнем равенстве перейдем к пределу при :

т.к. функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она принимает все промежуточные значения между m и M, из этого следует, что существует точка c € [a, b] такая, что , что и требовалось доказать. Замечание:

Значение функции называют средним значением функции y=f(x) на отрезке [a, b]

Геометрический смысл теоремы о среднем.

Из формулы (4) следует, что площадь криволинейной трапеции aABb=площади прямоугольника высотой f(c) и основанием (b-a).Нахождение средних издержек производства

Обозначим через y издержки производства, выраженные в денежных единицах, через x – объем выпущенной продукции. Очевидно, что издержки производства являются функцией от объема продукции, т.е.y=K(x). Предположим, что функция K(x) непрерывна, тогда согласно теореме о среднем значении функции среднее значение издержек при изменении объема продукции от а до в определяется следующим образом: