Ряд Тейлора

Как известно, ранее была получена формула Тейлора вида:

Функция f(x) является суммой степенного ряда или говорят, что функцияf(x) представлена степенным рядом (1)

f(x)=e^x

Положим в ряде Тейлора a=0 ряд Макларена.

f(x)=f(0)

f‘(x)=e^xприx=0f(0)=1

f`(x)=e<sup>x</sup>приx=0f`(0)=1

… …

f ⁽ⁿ⁾(x)=e^x при x=0 f⁽ⁿ⁾(0)=1

так как остаток ряда R_n(x) есть разность между суммойS(x) иS_n(x)

Rn(x)-S(x)-Sn(x), то приn∞ величина остатка0, что показывает, что данный функциональный ряд сходится, это подтверждает теорема по который функциональный ряд сходится и сумма его равнаf(x), если остаточный член рядаRn0, аf(x) имеет все производные.

xⁿ⁺¹ и (n+1)! стремятся в ∞ приn∞ их соотношение вообще неопределённость и подлежит исследованию.