1.6. Нормальные подгруппы. Фактор-группы

Определение 1. Подгруппа группыназывается нормальной, если левые и правые смежные классы по этой подгруппе совпадают, т.е., если

.

Тот факт, что – нормальная подгруппа вобозначается так:.

Пример 1. В группе подгруппаявляется нормальной. Подгруппынормальными не являются.

Определение 2. Пусть – нормальная подгруппа в. Смежный классбудем обозначать. Рассмотрим множествовсех смежных классов с бинарной операцией.

.

Это множество образует группу, которую мы будем называть фактор-группой и обозначать .

Гомоморфизм , определённый формулой, будем называть каноническим.

Предложение 1. Результат бинарной операции, определённый в определении 2, не зависит от выбора представителя.

Доказательство. Пусть и– другие представители смежных классови. Тогда,,. Поскольку, то найдётся элементтакой, что. Тогдаи поэтому.

Предложение доказано.

Пример 2. (группа окружности). Отображение явно может быть задано формулой.

Пример 3. .

Пример 4. .