1.3. Понятие группы. Примеры групп

Определение 1. Пусть – некоторое множество. Бинарной операцией наназывается произвольное отображение. Если, то результат бинарной операции чаще всего будем обозначать, где– знак бинарной операции.

Определение 2. Множество с бинарной операциейназывается группой, если

1) ;

2) , этот элементбудем называть единицей группы;

3) , элементдля элементабудем называть обратным к.

Если к условиям 1) – 3) добавить условие

4) , то группаназывается абелевой или коммутативной. В этом случае знак бинарной операции чаще обозначают, что мы и будем делать.

Результат бинарной операции в дальнейшем будем называть произведением. Прежде всего, заметим, что, благодаря условию 1), произведение нескольких элементов группы можно записывать без скобок.

Предложение 1. Единица в группе может быть только одна.

Доказательство. Действительно, если два элемента обладают свойством 2), то.

Предложение доказано.

Предложение 2. В группе элемент, обратный к данному элементу , может быть только один.

Доказательство. Если два элемента иобладают свойством 3) для элемента, то

.

Предложение доказано.

Приведём примеры групп.

Пример 1. Множества целых чисел , рациональных чисел, действительных чиселс обычной операцией сложенияявляются абелевыми группами.

Пример 2. Множества положительных рациональных чисел , положительных действительных чиселс обычной операцией умноженияявляются абелевыми группами.

Пример 3. Множество всех-матриц с действительными элементами и с отличным от нуля определителем образует группу относительно операции произведения матриц (но уже не абелеву).

Пример 4. Пусть – фиксированное натуральное число, большее единицы. Рассмотрим множество символов . На этом множестве определим операцию. Положим, где– остаток от деления числана. Нетрудно проверить, что получится абелева группа. Она называется группой вычетов по модулюи обозначается символом. Например, в группе

.

Пример 5. Пусть – множество из первых натуральных чисел. Взаимно однозначные отображения множества в себя называются подстановками и записываются в виде

(§ 1, определение 11 и пример 4). Роль операции играет суперпозиция отображений. Отметим, что суперпозиция действует справа налево. Например, если и– подстановки, а, то, т.е. сначала на элементдействует, а потом. Единицей является тождественное отображение. Легко убедиться, что каждая подстановка имеет обратную. Кроме того суперпозиция отображений всегда обладает свойством ассоциативности. Поэтому подстановки образуют группу, которую мы будем называть группой подстановокили симметрической группой. Эта группа некоммутативна. Число подстановок насимволах равно. Поэтому. В частности,.

Пример 6. Рассмотрим группу, состоящую из элементов . Перемножаются они следующим образом:,,. Умножение на (–1) соответствует смене знака. Если подпонимать орты координатных осей, декартовой системы координат в пространстве, то умножение элементовсоответствует векторному произведению ортов. Эта группа называется группой кватернионов и обозначается.

В § 1 мы дали определение движения на плоскости (определение 15). Далее сформулируем понятие группы движений геометрической фигуры.

Определение 3. Пусть – некоторая фигура на плоскости, которую мы понимаем как множество точек. Будем говорить, что движение плоскостиоставляет фигуруна месте, если для любой точкиточкатакже принадлежит. Или, более формально, если

.

Множество всех движений, оставляющих фигуру на месте, образует группу, которая называется группой движений фигуры.

Пример 7. Группа движений правильного -угольника обозначается.

Рассмотрим группу движений правильного треугольника. Пусть– правильный треугольник на плоскости (рис.1.1).

Существует 6 движений, оставляющих треугольник на месте:

–поворот на 120 вокруг центра треугольника точки против часовой стрелки;

–поворот на 240;

–симметрия относительно прямой, проходящей через точки и;

–симметрия относительно прямой ;

–симметрия относительно прямой ;

–тождественное преобразование.

Каждая конечная группа может быть задана таблицей умножения, которая иначе называется «таблицей Кэли».

Для составления таблицы элементы группы выписываются по горизонтали и вертикали в определённом порядке. В клетке на пересечении строки ипишется элемент.

Выпишем таблицу Кэли для группы .

Таблица 1.1

Таблица Кэли обладает важным свойством: в каждой строке и каждом столбце каждый элемент группы встречается ровно один раз. Таким образом, каждый столбец и каждая строка являются некоторой перестановкой элементов группы.