1.9. Кольцо, модуль над кольцом, тело, поле.
Определение 1. Множество с двумя бинарными операциямииназывается ассоциативным кольцом, если
1) относительно операции множествоявляется абелевой группой;
2) ;
3) ;
В случае, если
4) , кольцоназывается коммутативным.
В случае, когда
5) , говорят, что кольцоимеет единицу.
Неассоциативных колец мы рассматривать не будем, поэтому в дальнейшем слово кольцо будет обозначать ассоциативное кольцо.
Пример 1. Множество с обычными операциямииявляется коммутативным кольцом с 1.
Пример 2. Множества с обычными операциямииявляются коммутативными кольцами с 1.
Пример 3. Множество операциии, в котором определяются как остатки от деления нарезультатов обычных операций сложения и умножения, является кольцом. Например, в кольце.
–всегда коммутативное кольцо с 1.
Пример 4. Кольцо матриц размерас коэффициентами изи с операциями сложения и умножения матриц,является уже некоммутативным кольцом с 1.
Пример 5. Множество всех непрерывных функций на отрезкес операциями «поточечного» сложения и умножения функций. Это коммутативное кольцо с 1.
Пример 6. Кольцо многочленов от одной переменной с действительными коэффициентами и с обычными операциями сложения и умножения многочленов. Это также коммутативное кольцо с 1.
Определение 2. Кольцо с 1 называется телом, если каждый ненулевой элемент имеет обратный.
Определение 3. Коммутативное кольцо с единицей, в котором каждый ненулевой элемент имеет обратный, называется полем.
Оказывается, всякое конечное тело является полем. Эта теорема была доказана Веддербарном в 1905 году.
Определение 4. Пусть – подмножество в кольце. Если относительно существующих в кольцеопераций «сложения» и «умножения»также является кольцом, тоназывается подкольцом кольца.
Определение 5. Подкольцо кольцаназывается идеалом, еслииэлементыипринадлежат.
Пример 7. Множество для фиксированного натуральногоявляется идеалом кольца.
Определение 6. Пусть – идеал кольца. Рассмотрим множество смежных классов кольцапо идеалу, рассматриваемое пока как абелева группа. Смежными классами будут являться подмножества кольцавида, которые мы будем обозначать. В фактор-группеимеется операция сложения, определённая формулой. Определим операцию умножения равенством
.
В силу того, что – идеал, это определение корректно.
Рассмотренное множество смежных классов с определёнными на нём операциями иобразуют кольцо, которое называется фактор-кольцом кольцапо идеалуи обозначается.
Пример 8. .
Определение 7. Пусть и– кольца. Отображениеназывается гомоморфизмом колец, если
.
Если к тому же – взаимно однозначное отображение, тоназывается изоморфизмом.
Среди рассмотренных примеров 1 – 6 примерами полей являются . Если же– простое число, то кольцовычетов по модулютакже является полем.
Пример 9. Пусть – кольцо-матриц вида
.
Проверка показывает, что отображение
является изоморфизмом, т.е. кольцо изоморфно полю комплексных чисел.
Пример 10. Рассмотрим кольцо многочленов и идеал, состоящий из всех многочленов, делящихся на. В этом случае говорят, чтопорождён многочленом. Можно записать. В каждом смежном классе можно выбрать представитель в виде многочлена степени не выше первой. Поэтому элементы этого фактор-кольца можно записывать в виде . Отображениеявляется изоморфизмом, т.е. опять.
Пример 11. Примером тела, не являющегося полем, может служить «тело кватернионов».
Пусть – символы, перемножающиеся по правилу
. (*)
Множество выражений , где, с операцией покомпонентного сложения и умножения, определённого с помощью формул (*) и закона дистрибутивности, образует тело, называемое телом кватернионов.
Yandex.RTB R-A-252273-3- 1. Алгебраические системы
- 1.1. Множества и отображения
- Задачи.
- 1.2. Бинарные отношения, их свойства. Отношения эквивалентности и порядка
- Задачи.
- 1.3. Понятие группы. Примеры групп
- Задачи.
- 1.4. Гомоморфизмы и изоморфизмы групп
- Задачи.
- 1.5. Подгруппы. Теорема Кэли. Смежные классы. Теорема Лагранжа.
- Задачи.
- 1.6. Нормальные подгруппы. Фактор-группы
- Задачи.
- 1.7. Циклические группы. Теорема о строении конечных абелевых групп
- Задачи.
- 1.8. Конечные группы до 10-го порядка
- Задачи.
- 1.9. Кольцо, модуль над кольцом, тело, поле.
- Задачи.
- 1.10. Строение конечных полей
- Задачи.