1.10. Строение конечных полей

Определение 1. Пусть – поле. Наименьшее натуральное, при котором, называется характеристикой поляи обозначается. Если такогоне существует, то считается, что.

Теорема 1. Характеристика конечного поля – простое число.

Доказательство. Если бы , где, то в полепроизведение двух ненулевых элементовиравнялось бы 0. Это невозможно. Действительно, равенствоможно было бы умножить на, и тогда. Противоречие.

Теорема доказана.

Если характеристика поля равна, тосодержит подполе изэлементов, изоморфное. Элементами этого подполя являются суммы.

Теорема 2. Число элементов конечного поля характеристики равнодля некоторого натурального.

Доказательство. Поле можно рассматривать как векторное пространство над подполем. Как во всяком векторное пространстве, вможно выбрать базиснад. Этот базис конечен в силу конечности поля. Каждый элемент поляможно единственным образом представить в виде. Число таких выражений равно.

Теорема доказана.

Теорема 3. Для каждого простого и натуральногосуществует единственное с точностью до изоморфизма конечное поле изэлементов.

Без доказательства.

Определение 2. Конечное поле из элементов обозначаетсяи называется полем Галуа.

Определение 3. Если рассматривать все ненулевые элементы конечного поля, то относительно операции умножения они образуют коммутативную группу. Эта группа называется мультипликативной группой поля.

Имеет место следующий факт.

Теорема 4. Мультипликативная группа конечного поля циклическая.

Без доказательства.

Определение 4. Образующие мультипликативной циклической группы поля называются примитивными элементами этого поля.

Если , то примитивными элементамибудут те, для которых.

Если – конечное поле, то можно рассматривать кольцо многочленовнад. Элементами этого кольца являются многочлены от переменнойс коэффициентами из. Как обычно, степенью многочленаназывается число.

Определение 5. Многочлен над полемназывается неприводимым, если его нельзя представить в виде произведения двух многочленов меньших степеней.

Пример 1. Найдём неприводимые многочлены над полем степени 2. Всего существует 4 многочлена степени 2:

.

Неприводимым среди них является только , т.к.

.

Многочлен неприводим, т.к. 0 и 1 не являются его корнями, и поэтому он не может быть разложен в произведение двух линейных многочленов.

Существуют 2 неприводимых многочлена 3-й степени: ,.

Теорема 5. Для каждого простого и натуральногов кольцесуществуют неприводимые многочлены степени.

Без доказательства.

Теорема 6. Пусть – неприводимый многочлен степенинад полем. Пусть– идеал в кольце многочленов, порождённый многочленом. Тогда– конечное поле изэлементов.

Доказательство. Фактор-кольцо коммутативно и имеет единицу. Если, то в кольценайдутся многочленыитакие, что(Это следует из алгоритма Евклида). Тогдав кольце, т.е. каждый ненулевой элемент кольцаобратим. Значит– поле.

Пример 2. Рассмотрим поле . Его можно представлять как фактор-кольцо, где(нам будет удобнее здесь писатьвместо). В каждом смежном классе можно выбрать в качестве представителя многочлен степени не выше первой:. Таблица умножений элементов этого поля выглядит так:

Пусть . Каждый ненулевой элемент поля является корнем уравнения. Многочленв кольцеможно разложить в произведение неприводимых многочленов:

.

Тогда каждый ненулевой элемент поля является корнем одного из них.

Определение 6. Пусть элемент конечного поляизэлементов является корнем многочлена– одного из неприводимых многочленов в разложении. Тогда этот многочлен называется минимальным многочленом для.

Среди всех многочленов, одним из корней которых является , этот многочлен имеет наименьшую степень. Каждый элемент поля имеет свой минимальный многочлен.

Пример 2 (продолжение). Минимальным многочленом для 1 является . Минимальным многочленом для элементовиявляется многочлен. Разложением многочленав произведении неприводимых в данном случае является

(в поле имеет место равенство).