Задачи.
Все рассматриваемые многочлены предполагаются принадлежащими кольцу .
1. Разделите с остатком многочлен на многочлен.
2. Найдите наибольший общий делитель , если,. Далее, найдите многочленыитакие, что.
3. Найдите все неприводимые многочлены 3-й, 4-й и 5-й степеней в кольце .
Разложите следующие многочлены в произведение неприводимых многочленов.
4. .
5. .
6. .
Через будем обозначать идеал, порождённый многочленом. Этот идеал состоит из всех многочленов, делящихся на.
7. Выпишите таблицу умножения для элементов фактор-кольца . Будет ли это кольцо полем?
Найдите наименьший идеал, содержащий многочлены и.
8. .
9. .
10. Выпишите таблицу умножения для элементов фактор-кольца , взяв в качестве представителей смежных классов многочлены степени не выше второй. Будет ли это кольцо полем?
11. Выпишите таблицу умножения для элементов фактор-кольца , взяв в качестве представителей смежных классов многочлены степени не выше второй. Будет ли это кольцо полем?
12. Задайте явным образом изоморфизм полей из задач 10 и 11.
- 1. Алгебраические системы
- 1.1. Множества и отображения
- Задачи.
- 1.2. Бинарные отношения, их свойства. Отношения эквивалентности и порядка
- Задачи.
- 1.3. Понятие группы. Примеры групп
- Задачи.
- 1.4. Гомоморфизмы и изоморфизмы групп
- Задачи.
- 1.5. Подгруппы. Теорема Кэли. Смежные классы. Теорема Лагранжа.
- Задачи.
- 1.6. Нормальные подгруппы. Фактор-группы
- Задачи.
- 1.7. Циклические группы. Теорема о строении конечных абелевых групп
- Задачи.
- 1.8. Конечные группы до 10-го порядка
- Задачи.
- 1.9. Кольцо, модуль над кольцом, тело, поле.
- Задачи.
- 1.10. Строение конечных полей
- Задачи.