Задачи.

1. Пусть ,– подгруппа матриц с определителем, равным единице. Докажите, что.

2. Подгруппа Клейна группысостоит из четырёх элементов:

и единицы. Верно ли, что ?

3. Пусть – подгруппа конечной группы. Числоназывается индексом подгруппы. Докажите, что всякая подгруппа индекса 2 нормальна.

4. Докажите, что в группе кватернионов любая подгруппа является нормальной.

Выясните, что из себя представляет фактор-группа , если

5. .

6. .

7. .

8. – группа всех ненулевых действительных чисел с операцией умножения,– группа всех положительных действительных чисел с операцией умножения.