Формула дифракции Френеля — Кирхгофа

С учетом условий Кирхгофа выражение (6.30) запишем в виде

(6.33)

Обычно полагают, что расстояние r_i от отверстия до точки наблюдения во много раз больше длины волны. При этом выражение (6.27) можно преобразовать к следующему виду:

_(6.34)

Подставляя приближенное выражение (6.34) и выражение (6.26) для G в (6.30), находим, что

(6.35)

Предположим, что на отверстие падает сферическая волна

(6.36)

исходящая из одиночного источника в точке x_s, расположенного на расстоянии r_s от x_o (см. рис. 6.8, а). Если расстояние r_s во много раз больше длины волны, то (6.35) сразу можно упростить:

(6.37)

Этот результат, справедливый для случая, когда отверстие освещается одиночным точечным источником, известен как формула дифракции Френеля — Кирхгофа.

Рассмотрим одну полезную интерпретацию формулы (6.37). Перепишем ее следующим образом:

(6.38)

(6.39)

Исходя из выражения (6.39), можем считать, что поле в точке x_i создается бесконечным множеством вторичных точечных источников, расположенных в пределах самого отверстия. Амплитуда вторичного источника, расположенного в точке x_o, пропорциональна амплитуде волны, исходящей из точки x_s.

Однако, во-первых, амплитуда вторичного источника отличается от амплитуды падающей волнымножителем ^–1, т. е. амплитуда колебания вторичного источника обратно пропорциональна длине волны. Во-вторых, эта амплитуда уменьшается за счет коэффициента наклона , который никогда не превышает единицы и всегда положителен. В результате каждому вторичному источнику соответствует анизотропная «картина направленности». В-третьих, фаза излучения вторичного источника в точке U(x_o) отличается от фазы падающей волны на 90°, что следует из наличия в выражении (6.39) множителя 1/j.

Эти любопытные свойства вторичных источников были, по существу, предсказаны Френелем. Математический вывод Кирхгофа показал, что эти свойства объясняются волновой природой света, при этом были уточнены некоторые интуитивные предположения Френеля.