Приближение Френеля

Дальнейшие упрощения можно получить, принимая некоторые приближения для величины r_i. Следуя Френелю, будем полагать, что расстояние z между экраном (объектом) и плоскостью наблюдения (изображением) значительно превышает максимальный линейный размер окна W (рис. 6.9).

Рис. 6.9. Формирование изображения в приближении Френеля

Кроме того, будем предполагать, что в плоскости наблюдения рассматривается только конечная область вблизи оси Z и что расстояние z намного больше максимального размера этой области, т. е.

Выражение (6.46) для функции принимает вид

т. е.

где

Точная формула для расстояния r_i (см. рис. 6.9) будет выглядеть так:

(6.47)

Разложение Тейлора для квадратного корня дает следующую аппроксимацию его первыми двумя членами разложения:

_(6.48)

С учетом этого приближения, которое называют приближением Френеля, в выражении для функции h можно сделать следующие упрощения:

 для амплитудного члена выражения провести аппроксимацию первого порядка:

 для фазового члена выражения провести аппроксимацию второго порядка:

В результате весовая функция в приближении Френеля будет иметь вид

(6.49)

Таким образом, когда расстояние z достаточно велико по сравнению с размерами объекта и изображения, можно использовать приближения Френеля. При этом сферическая волна вторичного источника заменяется параболической, а коэффициент наклона

Вернемся теперь к выражению (6.43) и перепишем его как интеграл суперпозиции с бесконечными пределами. При этом положим, что в соответствии с граничными условиями Кирхгофа функция U(x_o, x_i) за пределами отверстия W равна нулю. В результате выражение (6.43) в приближении Френеля примет вид

_(6.50)