Ряды Фурье

Периодическую функцию f(x) аргумента x, имеющую период P, т. е. пространственную частоту  = 1/P, можно представить в виде суммы синусоид или косинусоид, имеющих частоты , 2, 3, ... , n и периоды P , P/2, P/3, ..., P/n:

где P измеряется в миллиметрах, а  — в единицах на миллиметр.

Коэффициенты такого ряда определяются по формулам

(7.13)

Легко убедиться, что для четной функции все b_n = 0; для нечетной функции все a_n = 0.

Тестовые решетки с одинаковыми прозрачными и непрозрачными полосами (см. рис. 7.1, а), имеющие прямоугольное (П-образное) пропускание, могут быть описаны рядами Фурье:

(7.14)

(7.15)

Уравнение (7.14) соответствует расположению начала координат в центре окна (рис. 7.5, а), а уравнение (7.15) — случаю, когда начало координат совпадает с границей окна (рис. 7.5, б).

На рис. 7.5, в в пределах одного периода показаны частные суммы двух и трех членов ряда Фурье. Увеличение числа членов ряда Фурье делает суммарную функцию все более похожей на исходное прямоугольное распределение.