2.6. Интегрирование тригонометрических функций. J – знак интеграла

Интегралы вида J sinaxcosbxdx, J cosaxcosbxdx, Jsinaxsinbxdx, где a≠b, находятся с помощью формул:

sinaxcosbxdx=1/2(sin(a-b)x+sin(a+b)x),cosaxcosbxdx=1/2(cos(a-b)x+cos(a+b)x), sinaxsinbxdx=1/2(cos(a-b)x-cos(a+b)x).

Интегралы вида J R(sinx,cosx)dx, где R - рациональная функция, приводятся к интегрированию рациональных функций с помощью подстановки tgx/2=t, так как J R(sinxcosx)dx=2J R(2t/(1+t²),(1-t²)/(1+t²)) dt/(1+t²). Данная подстановка, являющаяся универсальной для интегралов этого типа, приводит иной раз к сложным выкладкам. В таких случаях используются более простые подстановки. Если выполнено рав-во R(-sinx,cosx)= - R(sinx,cosx) или R(sinx, - cosx)= - R(sinx,cosx), то применяют подстановку cosx=t либо sinx=t. Если выполнено рав-во R(-sinx,-cosx)=R(sinx,cosx), то интеграл приводят интегралу от рациональной дроби с помощью подстановки tgx=t, т.к. в этом случае R(sinx,cosx)=R(tgx), dx=dt/(1+t²)