1.4. Квазилинейные уравнения с частными производными первого порядка

Квазилинейное уравнение с частными производными первого порядка является уравнением в случае, когда функция F(x, u, p) линейна относительно переменных p₁, ..., p_n. Т.е. это уравнение вида

(1.10)

Если в уравнении (1.10) все коэффициенты v_i не зависят от u, то уравнение (1.10) полулинейное, т.к. v_i = v_i(x), i = 1, ..., n.

Характеристическая система для квазилинейного уравнения

(1.11)

Характеристики данного уравнения - решения (x(t), u(t)) ∈ ℝⁿ⁺¹ (1.11). Характеристическим полем квазилинейного уравнения является гладкое векторное поле с компонентами (v₁ (x, u), ..., v_n (x, u), f (x, u)) в (n+1)-мерном пространстве с координатами (x₁, ..., x_n, u).

Если гладкая поверхность – график функции u = u(x), то вектор нормали к ней в координатах (x, u) имеет вид . Таким образом, квазилинейное уравнение (1.10) геометрически означает ортогональность характеристического вектора (v(x, u), f(x, u)) и нормали к M, т.е. касание поверхности M и характеристического поля.

Теорема 1. Гладкая функция u = u(x) будет решением квазилинейного уравнения тогда и только тогда, когда её график M = {(x, u(x))}, , будет касаться в каждой своей точке характеристического векторного поля (v₁, ..., v_n, f).

Следствие теоремы 1. Т.к. характеристики (x(t), u(t)) по определению касаются характеристического векторного поля, то характеристика, имеющая общую точку с графиком решения, вся лежит на этом графике. Соответственно, график решения u(x) квазилинейного уравнения полностью составлен из характеристик.

Пусть , dim Γ = n-1, - график начальной функции u₀(x). Характеристическая точка – это точка , если вектор v(x₀, u₀) касается в этой точке γ.

Для квазилинейного уравнения стоит вопрос о характеристичности точки , т.к. характеристическое векторное поле в этом случае зависит и от u.

Если – нехарактеристическая точка, то плоскость T, касательная в этой точке к M, изоморфно проецируется на пространство x-ов. Плоскость T задаётся касательными к Γ направлениями, которые будут при проецировании образовывать плоскость, касательную к γ, и характеристическим вектором (v(x₀, u₀(x₀)), f(x₀, u₀(x₀))), который при проецировании будет переходить в трансверсальный к γ вектор v(x₀, u₀(x₀)). Таким образом выходит, что локально в окрестности точки построенная поверхность M будет существовать в качестве графика гладкой функции u = u(x).