1.7. Циклические группы. Теорема о строении конечных абелевых групп

Теорема 1. Всякая бесконечная циклическая группа изоморфна . Всякая конечная циклическая группа изоморфнадля подходящего натурального.

Доказательство. Пусть – образующий циклической группы. Если все степени элементаразличны, то отображениеосуществляет изоморфизми. Допустим теперь, что не все степени различны. Тогдадля некоторых целых. В этом случае. Пусть– наименьшее натуральное число, при котором. Тогда все степениразличны, и отображениеосуществляет изоморфизми.

Теорема доказана.

Примером конечной циклической группы может служить группа вращений правильного-угольника.

Определение 1. Пусть имеются две группы и. На декартовом произведениивведём структуру группы, задав умножение формулой

.

Легко проверить, что множество с введённой таким образом операций образует группу. Эту группу будем называть прямым произведением группи. В случае, когда группыи– абелевы, будем использовать аддитивную запись:. В этом случае полученную группу будем называть прямой суммой группи.

Определение 2. Пусть – абелева группа, и– простое число. Множество элементов группы, порядки которых равны степени числа, образуют подгруппу группы, которую мы будем называть-примарной компонентой или просто примарной компонентой и обозначать символом. Группу, совпадающую со своей-примарной компонентой будем называть-группой.

Определение 2. Циклическую группу будем называть примарной циклической группой, если ее порядок является степенью простого числа.

Например, группы яваляются примарными циклическими, так как их порядки являются степенями простых чисел:. Однако, группане является примарной циклической.

Следующие две теоремы приведём без доказательства.

Теорема 2. Всякая конечная абелева группа порядкаизоморфна прямой сумме своих примарных компонент:

Теорема 3. Каждая конечная абелева группа изоморфна прямой сумме примарных циклических групп. Это разложение однозначно с точностью до перестановки слагаемых.

Пример 1. Рассмотрим группу вычетов . Тогда,. Изоморфизмможно задать следующим образом

.

Если , то группа вычетов по модулюраскладывается в прямую сумму примарных-компонент следующим образом

.

Пример 2. Разложим группу вычетов в прямую сумму своих примарных компонент. Поскольку, то

.

Для того, чтобы разложить абелеву группу

в прямую сумму примарных циклических групп, нужно разложить каждое слагаемое этой группы.

Пример 3. Разложим группу

в прямую сумму примарных циклических групп. Поскольку ,,, то

,

,

.

Поэтому

.

Пример 4. Определим, изоморфны ли группы и.

Поскольку ,, то

.

Далее, ,. Поэтому

.

Поскольку разложения совпадают с точностью до перестановки слагаемых, группы изоморфны.

Пример 5. Определим, изоморфны ли группы и. Находим разложение каждой группы в прямую сумму примарных циклических групп.

,

.

Примарные циклические группы не совпадают. группы не изоморфны.

Число неизоморфных абелевых групп порядка равно числуразбиений числав сумму нескольких (возможно, одного) натуральных чисел

, где .

Например, существуют две неизоморфные абелевы группы порядка :и.

, т.к. .

, т.к. .

, т.к. .

Пример 6. Найдём число неизоморфных абелевых групп порядка 64. Поскольку и, то. Поэтому существует 11 неизоморфных абелевых группы порядка 64.

Пример 7. Найдём число неизоморфных абелевых групп порядка 864. . Так как,, то абелевых групп порядка 864 существует.