1.5. Подгруппы. Теорема Кэли. Смежные классы. Теорема Лагранжа.

Определение 1. Подмножество группыназывается подгруппой, если выполнены следующие условия

1) ;

2) ;

3) .

Пример 1. Целые числа, делящиеся на фиксированное натуральное число образуют подгруппув группе.

Пример 2. Следующие множества чисел с обычной операцией сложения образуют цепочку подгрупп

.

Пример 3. В группе имеется подгруппа, состоящая из-матриц с определителем, равным.

Пример 4. Если число не является простым, и– нетривиальный делитель числа, то– нетривиальная подгруппа в. (Тривиальными подгруппами в любой группе называются единичная подгруппа и вся группа).

Пример 5. В группе всех движений треугольника нетривиальными подгруппами являются

.

Пример 6. В группе движений правильного-угольника имеется подгруппа вращений. При любом.

Определение 2. Если – подгруппа группыи, то множество

называется левым смежным классом группы по подгруппе. Соответственно, множествоназывается правым смежным классом.

Пример 7. Найдём левые и правые смежные классы группы по подгруппе. Левые смежные классы:

.

Правые смежные классы:

.

Левые и правые смежные классы группы по подгруппесовпадают:

и .

Каждое разбиение группы на левые (правые) смежные классы по любой подгруппезадаёт некоторое отношение эквивалентности.

Определение 3. Число элементов конечной группы будем называть её порядком и обозначать символом.

Определение 4. Пусть . Черезбудем обозначать наименьшую подгруппу в, содержащую элементы. Если, то элементыбудем называть системой образующих группы. Системубудем называть минимальной системой образующих группы, если после удаления любого элемента оставшееся множество уже не будет являться системой образующих для. Группубудем называть циклической, если найдётся элементтакой, что.

Например, в группе множествобудет минимальной системой образующих. Так как группане коммутативна, она не может быть циклической. Циклической будет, например, группа вычетов по любому модулю, поскольку она порождается элементом.

Теорема (Лагранжа). Порядок подгруппы делит порядок конечной группы.

Доказательство. Пусть – конечная группа,– подгруппа. Рассмотрим разбиение группына левые смежные классы по подгруппе. Во-первых, всегда. Значит, объединение всех левых смежных классов даёт.

Далее, покажем, что левые смежные классы либо не пересекаются, либо совпадают. Действительно, если , тодля некоторых. Но тогда, а. Отсюда следует, что.

Теперь покажем, что все левые смежные классы состоят из одного и того же числа элементов. Действительно, рассмотрим отображение , задаваемое правилом. Разные элементы при этом отображении переходят в разные. Действительно, если, то умножая равенство слева на, получим. Следовательно,. Таким образом, конечное множестворазбилось на некоторое множество (пусть) подмножеств, состоящих изэлементов. Тогда.

Теорема доказана.

Следствие. Если – конечная группа, то порядки её элементов являются делителями числа.

Доказательство. Если , то множествообразует подгруппу в.

Следствие доказано.

Пример 8. Найдём все гомоморфизмы из группы в группу. Каждый такой гомоморфизм определяется образом элемента, поскольку, то порядок элементадолжен быть делителем числа 6. С другой стороны,, поэтому порядок элементадолжен быть делителем числа 15. Значит, порядок элементадолжен быть делителем числа 3. Таких элементов в группетри. Этои. Поэтому существуют три гомоморфизма из группыв группу, для которых,и.