6.4. Скалярная теория дифракции Уравнение Гельмгольца

Зависимость между возмущением точки P, ее координатами (x, y, z) и временем t, выраженная в дифференциальной форме, называется волновым уравнением.

Для его получения следует найти частные производные второго порядка от возмущения по времени t и координате x и сравнить их между собой:

(6.18)

Применив обозначение оператора Лапласа, запишем скалярное волновое уравнение в виде

(6.19)

В большинстве физико-оптических явлений частота колебаний остается неизменной ( = const), поэтому выражение при расчетах обычно опускают. В таком случае волновое уравнение для комплексной амплитуды предельно упрощается:

(6.20)

Волновое уравнение в виде выражения (6.20) называется уравнением Гельмгольца. Этому уравнению должна подчиняться комплексная амплитуда любого монохроматического возмущения, распространяющегося в свободном пространстве.