Достаточные признаки сходимости знакоположительных числовых рядов.

Если для числового ряда выполнено необходимое условие, то числовой ряд может сходится или расходится для определения разработаны достаточные признаки сходимости числового ряда

Первый и второй признаки сравнения числовых рядов

Пусть требуется установить сходимость числового ряда.

U₁+U₂+…+U_n+… (1) – исследуемый ряд

Данный ряд можно сравнить с некоторым другим рядом, сходимость которого известна

V₁+V₂+ …+V_n+… (2) – эталонный ряд

В качестве (2) может быть геометрическая прогрессия, гармонический ряд и любой другой ряд с известной сходимостью.

Если ряд (2) сходится, то если (1) < (2), то ряд (1) – сходится

Если (2) расходится, то при (1) => (2), ряд (1) – расходится

Первый признак сравнения

Если между членами (1) и (2) существует соотношение U_n<=V_n, то из сходимости числового ряда с большими членамисходимость и исследуемого ряда, и если существует соотношениеU_n>=V_n, то из расходимость эталонного рядарасходимость и исследуемого

Доказательство

Для того, чтобы доказать, что ряд сходится нужно показать, что существует некоторая const, которая превосходит новую частичную суммуS_n, при любомn.S_n<=A

Допустим, что ряд V_n- сходитсясуществует

Если имеет место U_n<=V_n, то такое же неравенство между суммамиS_{n исследуемого}<=S_{n эталонного}

При увеличении nдо бесконечности

σ– сумма эталонного ряда, превосходит все частичные суммы исследуемого рядаисследуемый ряд сходится.

Второе утверждение признака доказывается аналогично.

Если существует

где l– конечное числоl≠0;l≠∞, то ряды (1) и (2) сходятся и расходятся одновременно.

Пример:

Необходимые условия

Эталонный ряд (сходится)

 исследуемый ряд сходится