1.4. Гомоморфизмы и изоморфизмы групп

Определение 1. Пусть и– группы. Отображение

называется гомоморфизмом, если для любых

.

Определение 2. Изоморфизмом групп называется гомоморфизм, который является взаимно однозначным отображением. Если группыиизоморфны, то принято обозначать .

Предложение 1. Пусть – гомоморфизм групп,– единицы групп,соответственно. Тогда.

Доказательство. Умножая левую и правую части равенства на, получим требуемое.

Предложение доказано.

Предложение 2. Пусть – гомоморфизм групп и. Тогда.

Доказательство. Действительно, . Аналогично. Это и означает, что.

Предложение доказано.

Определение 3. Пусть – группа с единицей. Наименьшее натуральное, для которогоназывается порядком элементаи обозначается. Если такогоне существует, то считается, что.

Предложение 3. Пусть – гомоморфизм групп и– элемент конечного порядка. Тогда элементтакже имеет конечный порядок, причём, если, тоделится на.

Доказательство. . Поэтому элементимеет конечный порядок. Допустим, чтоне делится на. Тогда, где. В этом случае, что противоречит тому, что– наименьшая степень такая, что.

Предложение доказано.

Пример 1. Покажем, что . Каждому преобразованию группыможно сопоставить перестановку – перестановку вершин треугольника. Действительно, занумеруем вершины:– 1,– 2,– 3. Тогда отображение, при котором

,

.

является изоморфизмом.

Пример 2. Отображение , при котором каждому целомуставится в соответствие его остатокпри делении на, является гомоморфизмом групп, но не изоморфизмом. Например, если, то,,, т.к..

Пример 3. Пусть – группа всех действительных чисел отличных от нуля с обычной операцией умножения.

сопоставляет каждой матрице её определитель. Тогда – гомоморфизм групп, т.к. определитель произведения матриц равен произведению определителей. Гомоморфизмне является изоморфизмом, т.к. разные матрицу могут иметь одинаковые определители.

Пример 4. Пусть – группа всех действительных чисел с операцией сложения, а– группа всех положительных действительных чисел с операцией умножения. Гомоморфизм

определён формулой . Это действительно гомоморфизм, т.к.

.

Более того, этот гомоморфизм является изоморфизмом.

Определение 3. Пусть – группа. Нетрудно убедиться, что множество всех изоморфизмовтакже образует группу, которая называется группой автоморфизмов группыи обозначается.

Пример 5. Найдём группу . Заметим, что в группекаждый элементявляется суммойнескольких единиц. Поэтому, чтобы задать гомоморфизм, достаточно задать. Действительно, если, тои т.д. Чтобы гомоморфизм был взаимно однозначным отображением,может равняться либо, либо. Обозначим первый гомоморфизм, а второй –. Тогда. Поэтому.