Теорема Грина

Учтем, что в соответствии с принципом Гюйгенса — Френеля волновой фронт распространяется от источника излучения во все стороны и вторичные источники образуются во всем объеме, окружающем рассматриваемую точку (см. рис. 6.5, a).

Таким образом, возмущение среды в точке x_i будет определяться суммарным действием колебаний, исходящих из каждой точки объема, с учетом их амплитуд и фаз. Однако даже если точно известны распределения амплитуд и фаз вторичных источников, интегрирование по объему даже простейшего вида представляет собой чрезвычайно трудоемкую задачу. Поэтому необходимо эквивалентно заменить действие объема, в котором находится рассматриваемая точка, действием поверхности, окружающей этот объем. Это позволит перейти от интегрирования по объему к интегрированию по поверхности. Такой переход возможен с помощью теоремы Грина, которая формулируется следующим образом.

Пусть U(x) и G(x) — две произвольные комплексные функции координат, а S — замкнутая поверхность, ограничивающая объем V. Если функции U и G, их первые и вторые производные однозначны и непрерывны внутри объема, ограниченного поверхностью S, и на самой этой поверхности, то

(6.21)

где — частная производная в каждой точке поверхности S, взятая по направлению внешней нормали к этой поверхности.

Теорема Грина является основным звеном теории дифракции. Ее суть состоит в следующем.

Полагаем, что функция U(x), выражающая возмущение светового поля в каждой точке поверхности S, известна. Если для той же точки мы сможем подобрать вспомогательную функцию G(x), обладающую перечисленными выше свойствами, то по теореме Грина можно провести эквивалентную замену интеграла по объему интегралом по поверхности.

Замена объемного интеграла поверхностным дает огромную экономию вычислительных ресурсов. Поэтому включение в расчеты некоей вспомогательной функции, не имеющей прямого физического смысла, представляется вполне оправданным.

Выбор функции Грина G и замкнутой поверхности S существенно влияет на конечный результат. В различных курсах по физической оптике приводятся конечные формулы, полученные при различных значениях этой функции.

Для выяснения сходства и различий этих формул проведем их дальнейший анализ.