4. Векторное произведение векторов

Первые три закона композиции имеют место как в ориентированной, так и не в ориентированной системе отсчета. Четвертый закон композиции имеет место только в ориентированной системе отсчета.

Векторное произведение введем в два этапа. Пусть дана упорядоченная пара векторов a и b, где a считается первым (левым) сомножителем, а вектор b – вторым (правым). Сопоставим векторам a и b спин-вектор c_*  такой, что

а) ось вектора c_* ортогональна плоскости, натянутой на векторы a и b;

б) круговая стрелка показывает направление кратчайшего поворота от вектора a к вектору b;

в) модуль спин-вектора c_* равен

где θ – угол кратчайшего поворота от a к b.

Для спин-вектора c_* введем обозначение c_* = [a, b]. Сразу можно отметить, что c_* = [a, b] = –[a, b]. Теперь осталось спин-вектору c_* поставить в соответствие прямой вектор c. Это можно сделать двумя способами в зависимости от выбранной нами ориентации в системе отсчета. Если мы работаем в правоориентированной системе отсчета, то при взляде с конца вектора c поворот от a к b будет осуществляться против часовой стрелки. Если же мы работаем в левоориентированной системе отсчета, то при взляде с конца вектора c поворот от a к b будет осуществляться по часовой стрелке. Чтобы не вносить путаницу, условимся всегда работать в правоориентированной системе отсчета.

Свойства векторного произведения:

а) a × b = – b × a;

б) a × (b + c) = a × b + a × c – дистрибутивность;

в) (a × b) × c ≠ a × (b × c) – ассоциативности нет!

Полезные тождества:

а) (a × b) · c = (b × c) · a = (c × a) · b – циклическая перестановка векторов в смешанном произведении не меняет результат произведения;

б) a × (b × c) = b(a · c) – c(a · b) – правило «бац минус цаб».