Теорема о представлении тензора поворота

Согласно теореме Эйлера (34), любой поворот может быть осуществлен как один поворот вокруг некоторой оси на некоторый угол. Это удобно, когда ось фиксирована. Однако в большинстве задач это не так. Для эффективного решения любой задачи теории поворотов жизненно необходима следующая теорема.

Теорема. Любой поворот P(θ) может быть осуществлен в виде композиции поворотов вокруг произвольно выбираемых и фиксированных во времени осей m и n, а также оси e, выбираемой по правилу e = m × n / |m × n|,

Изложенного выше материала вполне достаточно для того, чтобы проницательный читатель смог самостоятельно доказать данную теорему.

Если m = n, то углы ψ, , φ называются углами Эйлера (углы прецессии, нутации и собственного вращения). Вектор e в этом случае произвольный, удовлетворяющий условию e · n = 0. Тензор поворота имеет вид

Однако некоторые читатели могут возразить: «Позвольте, но в учебниках по механике написано, что при использовании углов Эйлера оси как-то поворачиваются, а здесь они неподвижны…».  А мы в ответ, в учебниках все правильно написано, только во всех трактовка однобокая. Вспомним правило квазикоммутативности поворотов. По нему мы можем записать

где m′′ = Q(ψm)·Q(e)·m = Q(e′)·m, e′ = Q(ψm)·e. Настоятельно рекомендуем убедиться самостоятельно, что это так. Это можно сделать и формально, используя правило (50).

Видим, что в классическом представлении повороты производятся в обратном порядке и вокруг вращающихся векторов e′ и m′′. Последнее обстоятельство наиболее часто вызывает трудности в понимании и последующем восприятии углов Эйлера у многих студентов.

На практике помимо углов Эйлера используется масса других систем углов. Наиболее известны «самолетные» и «корабельные» углы. О них мы расскажем в следующих статьях. А сейчас рассмотрим небольшой пример.

Пример.

Многие, наверное, смотрели фильм «Косильщик лужаек». Там есть одна сцена, где главного героя раскручивают в непонятной машине, представляющей собой три скрепленных кольца, во внутреннее кольцо был помещен наш герой. В механике подобный механизм называется трехстепенным гироскопом и схематично изображен на рис. 5. Три кольца – внутреннее зеленое, среднее красное, наружное синее – соединены так, что внутреннее кольцо может свободно вращаться относительно среднего вокруг оси m′′, среднее кольцо вращается относительно внешнего вокруг оси e′, внешнее же кольцо вращается вокруг неподвижной оси n.

Рис. 5

Ответим на вопрос, как можно задать ориентацию объекта, жестко закрепленного во внутреннем кольце. Раз жестко, то достаточно написать тензор поворота для внутреннего кольца. Всего существует шесть возможных эквивалентных вариантов задания результирующего поворота. Мы же выберем наиболее очевидный вариант

где e, m – орты направления осей вращения в отсчетном положении (в начальный момент времени).

Обратите внимание, что мы не стали долго думать, как же подстроить эйлерову систему углов для нашей задачи, а, просто глядя на задачу, сходу написали ответ. Именно последнее обстоятельство является тем огромным преимуществом прямого тензорного языка при описании поворотов, которое заставляет приложить минимум усилий для его изучения с целью максимальной практической отдачи. Рекомендуем читателю получить остальные 5 вариантов представления тензора P.