logo
Rotation_3D[1]

Композиция поворотов. Правило квазикоммутативности

Введем в рассмотрение понятие сложного поворота. Пусть задан вектор a и тензоры поворота P1 и P2. Повернем вектор a тензором P1 и найдем вектор a′ ≡ P1 · a. Далее вектор a′ повернем тензором P2 и найдем вектор a′′ ≡ P2 · a′. В результате вектор a′′ вычисляется как сложный поворот вектора a

a ′′ ≡ P2 · a′ = P2·P1 · a = P · a ,  P = P2·P1.

(45)

Из (45) видно, что при последовательном проведении двух поворотов результирующий поворот выражается через произведение составляющих поворотов. Известно, что в общем случае произведение тензоров не коммутативно

P2·P1 ≠ P1·P2.

(46)

Это означает, что если произвести повороты в другом порядке, сначала P2 потом P1, то результат будет другой.

Однако не следует абсолютизировать условие (46), так как существует определенное правило квазикоммутативности (т.е. как бы перестановочности) поворотов, играющее очень важную практическую роль. В то же время это правило интуитивно понятно и расширяет поле для фантазии при описании вращения.

Пусть имеется два последовательных поворота P1 = Q(θn) и P2 = Q(φm), тогда

Q(φm)·Q(θn) = Q(φm)·Q(θn)·1 = = Q(φm)·Q(θn)·QT(φm)·Q(φm).

(47)

Посмотрим на Q(φm)·Q(θn)·QT(φm)

Q(φm)·Q(θn)·QT(φm) = = Q(φm)·[nn + cosθ(1 – nn) + sinθn × 1]·QT(φm) = = n′n′ + cosθ(1 – n′n′) + sinθn′ × 1,

(48)

где n′ = Q(φm) · n – повернутый вторым поворотом вектор n. В итоге получаем

Q(φm)·Q(θn) = Q(θn′)·Q(φm).

(49)

То есть результирующий поворот можно осуществить двумя способами. Либо сначала повернуть на угол θ вокруг n, а затем на угол φ вокруг m. Либо сначала на угол φ вокруг m, а затем на угол θ, но уже вокруг другой повернутой оси n′.

Правило

Q(φm)·Q(θn)·QT(φm) = Q(θn′), n′ = Q(φm) · n

(50)

полезно запомнить для проведения чисто формальных преобразований без привлечения интуиции.

Пример.

Всем известен пример из детства с юлой. В механике этот объект называется волчком Лагранжа (см. рис. 4) и представляет собой осесимметричное тело вращения с одной точкой опоры. Юла одновременно вращается вокруг собственной оси n′, которая в свою очередь вращается вокруг неподвижной вертикали m, проходящей через точку опоры.

Рис. 4

На первый взгляд кажется, что наиболее удобной формой задания тензора поворота юлы является P = Q(θn′)·Q(φm). Но ведь вектор n′ непостоянный, а это в ряде случаев может существенно усложнить моделирование. Но так как n′ = Q(φm) · n, то, пользуясь  правилом квазикоммутативности, мы можем написать P = Q(φm)·Q(θn), где вектор n является константой и определяет направление оси юлы в начальный момент. Второй вариант уже существенно менее затратен для моделирования. Тем не менее, при постановке задач первый способ оказывается более выигрышным.