logo search
шпоры матем 2

3.5 Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.

1. Замена переменной. Теорема: Пусть f(x) непрерывная на [a, b] ф-ция. Тогда, если: 1) ф-ция х = (t) дифференцируема на [, ] и ’(t) непрерывна на [, ]. 2) множеством значений ф-ции (t) явл. [a, b]. 3) () = a, () = b. То справ-ва формула = .

2. Интегрирование по частям

Теорема: Если ф-ции U = U(x) и V = V(x) имеют непрерывные производные на [a, b], то справедлива формула = U*V - .

Доказательство: Т.к. (U*V)’ = U’*V + U*V’ и в этом равенстве все ф-ции интегрируемы на [a, b], т.к. они непрерывны по усл. Теоремы, то, проинтегрировав это равенство на [a, b], получим = +  UV = + . Получим формулу: = UV -

4.2 ДУ первого порядка. Задача и теорема Коши. Уравнение с разделяющимися переменными.

ДУ первого порядка – уравнение вида F(x,y,y`)=0 (y`=f(x,y), f(x,y)dy+(x,y)dy =0).

Задача Коши: найти решения ДУ y`=f(x,y), удовлетворяющее начальному условию y(xo)=yo, где xo, yo – данные числа. Геометрически: найти интегральную кривую, проходящую через точку (xo, yo). Теорема Коши: Если в уравнении y`=f(x,y) функция f(x,y) и ее частная производная f `y(x,y) непрерывны в некоторой замкнутой области D и точка (xo, yo)  D,то существует единственное решение y=(x), удовлетворяющее начальному условию y(xo)=yo. Общим решение ДУ называется функция y=(x,с), удовлетворяющее следующим свойствам: 1. Функция y=(x,с) является решением ДУ при любом постоянном с. 2. Для любого начального условия y(xo)=yo существует единственное значение с=со, при котором решение y=(x,со) удовлетворяет заданному начальному условию.

Частным решением называется любое решение полученное из общего при конкретном значении с.

ДУ с разделяющимися переменными.

P(x)*Q(y)dy+M(x)*N(y)dx=0. Разделим обе части уравнения на произведение P(x)*N(y): . Получили уравнение с разделенными переменными. Интегрируя обе части этого уравнения получим общий интеграл уравнения .