Задачи.

Для данных множеств ии универсального множестванайдите множества.

1. .

2. ,,.

Для подстановок инайдите.

3. .

4. .

5. Докажите, что отображение является взаимно однозначным тогда и только тогда, когда оно имеет обратное отображение.

6. Найдите, сколько всего существует отображений в следующих случаях: а); б); в)

7. Сколько существует взаимно однозначных отображений в случаях а), б), в) задачи 6?

8. Пусть . Найдите, сколько всего существует отображений.

9. Пусть . Найдите, сколько существует отображений, удовлетворяющих условию 1) определения 10?

10. Сколько существует взаимно-однозначных отображений , если?

11. Сколько существует отображений , удовлетворяющих условию 2) определения 10, если?

12. Сколько существует отображений , удовлетворяющих условию 2) определения 10, если?

13. Докажите, что если , то число отображений, удовлетворяющих условию 2) определения 10 равно

.

Пусть и– указанные ниже подмножества в. Определите, существует ли взаимно однозначное отображение?

14. .

15. .

16. .

17. .

18. .

19. .

20. .

21. Докажите, что суперпозиция двух движений является движением.

22. Докажите, что параллельный перенос, поворот относительно некоторой точки на некоторый угол и симметрия относительно некоторой прямой являются движениями.

23. Докажите, что если – это симметрия относительно некоторой прямой, то.

24. Пусть движение имеет две неподвижные точкии. Докажите, что тогда вся прямаяявляется неподвижной для преобразования.

25. Пусть движение имеет неподвижную прямуюи точку. Докажите, что либо точкасимметрична точкеотносительно прямой, либо.

26. Докажите, что если – движение, имеющее три неподвижные точки, не лежащие на одной прямой, то.

27. Докажите, что если – движение, имеющее неподвижную прямуюи не являющееся тождественным отображением, то– симметрия относительно прямой.

28. Докажите, что суперпозиция двух параллельных переносов также является параллельным переносом.

29. Пусть – симметрия на плоскости относительно прямой, а– симметрия относительно прямой. Пусть прямыеипересекаются и угол между ними равен. Что собой представляют преобразованияв?

30. Пусть – симметрия на плоскости относительно прямой, а– симметрия относительно прямой. Пусть прямыеипараллельны и расстояние между ними равно. Что собой представляют преобразованиявв этом случае?

31. Пусть – это поворот относительно точкина угол, а– это поворот относительно точкина угол. Докажите, что суперпозициятакже будет с поворотом на угол. Где будет находиться центр этого поворота?

32. Докажите, что любое движение плоскости можно представить в виду суперпозиции параллельного переноса, поворота и симметрии относительно некоторой прямой.

33. Докажите, что любое движение плоскости можно представить в виде суперпозиции некоторого количества симметрий.