Дифференциальные уравнения
Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной y' = f(x,y). Основные методы интегрирования. Теорема Пикара существования и единственности решения задачи Коши.
Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка. Теорема существования фундаментальной системы решений, теорема о структуре общего решения, метод нахождения фундаментальной системы решений в случае уравнения с постоянными коэффициентами. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение n-го порядка. Метод вариации произвольных постоянных нахождения его частного решения. Метод неопределенных коэффициентов для уравнения с постоянными коэффициентами и квазимногочленом в правой части.
Система линейных дифференциальных уравнений. Способ решения линейной однородной системы с постоянными коэффициентами. Метод вариации произвольных постоянных нахождения частного решения линейной неоднородной системы.
Темы практических заданий
Литература
Вопросы по теории (Алексеев А.А.)
Методы интегрирования дифференциальных уравнений 1-го порядка, разрешенных относительно производной (с разделяющимися переменными, однородное, линейное, уравнение Бернулли, в полных дифференциалах). (2008)
Теорема Пикара существования и единственности решения задачи Коши для уравнения (основные этапы доказательства).
Расположение интегральных кривых в окрестности простой особой точки дифференциального уравнения .
Теорема Коши существования и единственности голоморфного решения дифференциального уравнения .
Однородное линейное дифференциальное уравнение n-го порядка. Фундаментальная система решений. Построение общего решения.
Структура общего решения неоднородного линейного уравнения n-го порядка. Метод вариации произвольных постоянных.
Построение фундаментальной системы решений и общего решения однородного линейного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. (2008)
Системы дифференциальных уравнений в симметрической форме. Приложение к решению линейных дифференциальных уравнений в частных производных 1-го порядка.
Задачи
Уровень 1
Решить уравнение . Найти интегральную кривую уравнения, проходящую через точку (1;1). (2005)
Найти решение задачи Коши для уравнения y' = y(1+xy) c начальными данными (2005)
Решить уравнение . Найти также особые решения (если таковые имеются). (2005)
Найти решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям (2005, 2006)
Найти решение задачи Коши для уравнения с начальными условиями (2006)
Решить уравнение (2006)
Найти решение уравнения удовлетворяющее начальным условиям (2007)
Найти общее решение системы .(2007)
Определить тип особой точки для уравнения и изобразить его интегральные кривые. (2007)
Найти общий интеграл системы .
Уровень 2
Найти интегральную кривую уравнения проходящую через точку (1;0).
Решить уравнение
Решить уравнение
Решить уравнение Указать особые решения (если таковые имеются).
Решить уравнение
Найти решение уравнения удовлетворяющее начальным условиям
Решить уравнение
Найти общее решение системы .
Найти и исследовать все особые точки уравнения
Решить уравнение
- Уровень 1
- Уровень 2
- Дифференциальные уравнения
- Алгебра и теория чисел
- Темы практических заданий Литература
- Линейная алгебра
- Темы практических заданий Литература
- Аналитическая геометрия (Небукина г.Ф.)
- Темы практических заданий Литература
- Топология
- Темы практических заданий Литература
- Дифференциальная геометрия
- Темы практических заданий Литература
- 2009 (Жукова н.И.)
- Функциональный анализ
- Темы практических заданий Литература
- Теория функций комплексного переменного
- Уравнения с частными производными (Калинин а.В.)
- Темы практических заданий
- Литература
- Вариационное исчисление и методы оптимизации (Сумин м.И.)
- Темы практических заданий
- Литература