Дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной y' = f(x,y). Основные методы интегрирования. Теорема Пикара существования и единственности решения задачи Коши.

Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка. Теорема существования фундаментальной системы решений, теорема о структуре общего решения, метод нахождения фундаментальной системы решений в случае уравнения с постоянными коэффициентами. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение n-го порядка. Метод вариации произвольных постоянных нахождения его частного решения. Метод неопределенных коэффициентов для уравнения с постоянными коэффициентами и квазимногочленом в правой части.

Система линейных дифференциальных уравнений. Способ решения линейной однородной системы с постоянными коэффициентами. Метод вариации произвольных постоянных нахождения частного решения линейной неоднородной системы.

Темы практических заданий

Литература

Вопросы по теории (Алексеев А.А.)

1. Методы интегрирования дифференциальных уравнений 1-го порядка, разрешенных относительно производной (с разделяющимися переменными, однородное, линейное, уравнение Бернулли, в полных дифференциалах). (2008)

2. Теорема Пикара существования и единственности решения задачи Коши для уравнения (основные этапы доказательства).

3. Расположение интегральных кривых в окрестности простой особой точки дифференциального уравнения .

4. Теорема Коши существования и единственности голоморфного решения дифференциального уравнения .

5. Однородное линейное дифференциальное уравнение n-го порядка. Фундаментальная система решений. Построение общего решения.

6. Структура общего решения неоднородного линейного уравнения n-го порядка. Метод вариации произвольных постоянных.

7. Построение фундаментальной системы решений и общего решения однородного линейного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. (2008)

8. Системы дифференциальных уравнений в симметрической форме. Приложение к решению линейных дифференциальных уравнений в частных производных 1-го порядка.

Задачи

Уровень 1

1. Решить уравнение . Найти интегральную кривую уравнения, проходящую через точку (1;1). (2005)

2. Найти решение задачи Коши для уравнения y' = y(1+xy) c начальными данными (2005)

3. Решить уравнение . Найти также особые решения (если таковые имеются). (2005)

4. Найти решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям (2005, 2006)

5. Найти решение задачи Коши для уравнения с начальными условиями (2006)

6. Решить уравнение (2006)

7. Найти решение уравнения удовлетворяющее начальным условиям (2007)

8. Найти общее решение системы .(2007)

9. Определить тип особой точки для уравнения и изобразить его интегральные кривые. (2007)

10. Найти общий интеграл системы .

Уровень 2

1. Найти интегральную кривую уравнения проходящую через точку (1;0).

2. Решить уравнение

3. Решить уравнение

4. Решить уравнение Указать особые решения (если таковые имеются).

5. Решить уравнение

6. Найти решение уравнения удовлетворяющее начальным условиям

7. Решить уравнение

8. Найти общее решение системы .

9. Найти и исследовать все особые точки уравнения

10. Решить уравнение