logo
Программа ГЭК 2009Ма(п)

Теория функций комплексного переменного

Функция комплексного переменного, геометрическая интерпретация. Производная и дифференциал. Условия Коши-Римана (Даламбера-Эйлера). Критерий дифференцируемости функции в точке (функция задана в области). Связь между аналитическими и гармоническими функциями. Элементарные функции комплексного переменного (показательная, логарифмическая, общая степенная, тригонометрическая, гиперболическая и их представление степенными рядами). Интегральная теорема Коши. Формула Коши. Бесконечная дифференцируемость аналитической функции. Первая теорема Вейерштрасса о рядах аналитических функций. Применение к степенным рядам. Ряд Лорана. Теорема Лорана. Классификация изолированных особых точек аналитической функции. Теорема Сохоцкого (без доказательства). Вычет функции в точке. Основная теорема о вычетах. Вычисление определенных интегралов с помощью вычетов.

Темы практических заданий

Литература

Вопросы по теории (Солдатов М.А.)

  1. Доказать критерий дифференцируемости функции комплексного переменного. Условия Даламбера-Эйлера.(2004)

  2. Доказать теоремы о связи функций аналитических и гармонических.(2004, 2008)

  3. Доказать интегральную формулу Коши для аналитических функций. (2006)

  4. Доказать первую теорему Вейерштрасса о рядах аналитических функций (аналитичность суммы и почленное дифференцирование). (2006)

  5. Доказать теорему Тейлора о разложении аналитической функции в степенной ряд. (2007)

  6. Доказать теорему о разложении аналитической функции в ряд Лорана. (2007, 2008)

  7. Теорема о связи между нулем и полюсом аналитической функции. Следствие о существовании особой точки.

  8. Два определения вычета регулярной функции и вычисление его в полюсе.

Задачи

Уровень 1

  1. Вычислить с помощью вычетов .(2005)

  2. Найти с помощью вычетов .(2005, 2006)

  3. Вычислить .(2007)

  4. Определить тип изолированных особых точек функции и найти вычеты в них. (2005, 2006)

  5. Найти .(2007)

  6. Найти аналитическую функцию , если .(2005)

  7. Разложить в ряд Лорана в окрестности бесконечности функцию . Где он сходится? (2006)

Уровень 2

  1. Вычислить .

  2. Найти .

  3. Вычислить .

  4. Найти с помощью вычетов .

  5. Определить тип особых точек функции и найти вычеты в них.

  6. Найти аналитическую функцию , если . Результат представить как функцию от .

  7. Функцию разложить в ряд Лорана в кольце .(2007)