Дифференциальная геометрия

Гладкие кривые. Кривизна и кручение гладкой кривой и их геометрический смысл, формулы для их вычисления. Формулы Френе.

Гладкие поверхности. Неявное и параметрическое задание поверхности. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Первая квадратичная форма поверхности и ее применение. Вторая квадратичная форма поверхности. Расположение поверхности относительно касательной плоскости. Теорема Менье о кривизне кривой на поверхности. Асимптотические линии. Теорема о нахождении главных направлений и линий кривизны, Гауссова и средняя кривизны поверхности. Тензорные поля на поверхности. Абсолютный дифференциал и параллельный перенос векторного поля вдоль кривой. Геодезические линии и их свойства. Геодезические на поверхностях вращения. Теорема Гаусса-Бонне. Сумма углов геодезического треугольника на поверхностях постоянной кривизны.

Дифференцируемые многообразия класса C^r, r  1. Касательное векторное пространство. Дифференцируемые отображения многообразий. Дифференциал отображения. Ориентируемость и ориентация многообразия с краем. Теорема о разбиении единицы. Произведение многообразий.

Анализ на многообразии. Алгебра внешних форм в Rⁿ . Внешние формы на многообразии. Внешний дифференциал. Интеграл от внешней формы. Теорема Стокса на многообразии с краем. Классические теоремы Грина, Стокса, Остроградского-Гаусса, формула Ньютона-Лейбница - как следствия общей теоремы Стокса. Когомологии Де Рама.

Римановы многообразия. Линейные связности и их коэффициенты. Риманова связность. Параллельные перенесения векторов. Геодезические линии. Римановы многообразия как метрические пространства. Геодезическая и метрическая полнота Риманова многообразия. Теорем Хопфа-Ринова.