logo
Программа ГЭК 2009Ма(п)

Темы практических заданий Литература

Вопросы по теории (Баландин А.В.)

  1. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.

  2. Теорема о размерности суммы и пересечения подпространств.

  3. Теорема о размерности ядра и образа линейного оператора.

  4. Ортогональные операторы и их свойства.

Задачи

Уровень 1

  1. Найти собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей .

  2. Найти жорданову форму матрицы .

  3. Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа.

  4. Найти матрицу линейного оператора , если .

  5. Проверить является ли сумма прямой, если , , , , .

  6. Привести к главным осям квадратичную форму , не находя самого преобразования.

  7. Ортогонализировать систему векторов .

  8. Задать системой линейных уравнений линейную оболочку системы векторов , .

  9. Найти ортогональную проекцию вектора на подпространство

  1. Найти ортонормированный базис из собственных векторов для линейного преобразования, заданного в ортонормированном базисе матрицей .

  2. Систему векторов арифметического пространства со стандартным скалярным произведением доролнить до ортонормированного базиса.

Уровень 2

  1. Найти базис в сумме и пересечении подпространств и , если , .

  2. Привести квадратичную форму к главным осям, т.е. найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду.

  3. Найти минимальный многочлен матрицы .

  4. Найти жорданову форму матрицы .

  5. Выяснить, подобны ли матрицы и .

  6. (ЛУЧШЕ НЕ ДАВАТЬ) Найти базис двумерного подпространства, инвариантного относительно ортогонального оператора, заданного в ортонормированном базисе матрицей

  1. Найти ортогональную проекцию вектора на подпространство

  1. Пусть – ортонормированный базис и линейный оператор в базисе имеет матрицу . Найти матрицу сопряженного оператора в базисе .

  2. Найти базис образа и ядра линейного оператора, заданного в некотором базисе матрицей .

  3. Не находя линейного преобразования, найти канонический вид следующей пары квадратичных форм:

.

  1. Найти ортонормированный базис в ортогональном дополнении к подпространству