6.4.Свойства степенных рядов .

Пусть функция S(x) есть сумма степенного ряд S(x)= a_nxⁿ ,x €(-R;R) .

Какие свойства функции S(x)?

Теорема. Функция S(x) является дифференцируемой на интервале сходимости x €(-R;R) . Причем ее производная S’(x) может быть найдена почленным дифференцированием членов ряда .

S’(x) = (a₀ + a₁x + a₂x²+…+ a_nxⁿ +…)’= a₁ + a₂x+…+ a_nx^n-1 +…

при этом радиус сходимости полученного ряда равен R.Кроме того, степенной ряд можно почленно интегрировать.

Замечание. 1) При дифференцировании интервал сходимости (-R;R) остается неизменным. Однако ситуация в точках x= ±R может не совпадать с ситуацией, которая имеет место в исходном степенном ряде.

2) Степенной ряд можно дифференцировать бесконечное число раз.

3) На произвольные функциональные ряды данная теорема без специальных предположений не распространяется.

ψ(t) - где дифференц. фун-ция.