5.2Сумма ряда.

Пусть дан числовой ряд а₁+а₂+а₃+...+а_n...

Составим суммы

S₁=a₁; S₂=a₁+a₂; S₃=a₁+a₂+a₃; S _n=a₁+a₂+…+a_n

Суммой S₁, S₂,…,S _n - называются частичными суммами ряда, Они образуют бесконечную числовую последовательность.

1. Если существует lim S _n равный S, то говорят, что ряд n →∞ сходится и его сумма равна S.

2. Если Lim S _n не существует или равен бесконечности n →∞ , то говорят, что ряд расходится.

Гармонический ряд.

1+1/2+1/3+…+1/n+…

Докажем, что гармонический ряд расходится: предположим, что он сходится и имеет сумму S. Тогда (S_2n-S_n) = S-S =0,

1+1/2+1/3+1/4+…+1/n+…, (S_2n-S_n) = 0,S_2n-S_n1+1/2+1/3+1/n+1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/2n-(1+1/2+1/3+1/4+…+1/n) = 1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)>n*1/2n = ½,

S_2n-S_n>1/2, (S_2n-S_n) ≠ 0 (не может быть равен 0).

Мы пришли к противоречию, из чего следует, что гармонический ряд расходится.