Криволинейный интеграл первого рода. Геометрический смысл, свойства, приложения.

Пусть имеется некоторая цилиндрическая поверхность с направляющей кривойABи образующей || осиozи сверху ограниченной некоторой функциейf(x;y).

Требуется вычислить площадь данной цилиндрической поверхности. Воспользуемся при этом общей схемой применения интеграла кривую AB– разобьем наn– частей, некоторыми точками.

1. ABразбиваем наn-частей.

2. Определить внутри каждой элементарной дуги возьмём точку M_if(M_i).

3. Тогда площадь элементарной, криволинейной полости.

Определение: криволинейным интегралом 1го рода называют предел интегральной суммы вида 1, если он существует.

Вычисления криволинейного интеграла 1го рода, если кривая ABзадана в декартовой СК, видаAB=y(x).

где AB– интервал переменнойx. Такой подстановкой, криволинейной интеграл переводится в прямолинейный.

x[a;b].

5. Если кривая ABзадана в нормальном виде.

Подставим в интеграл в значение x,y, получим интеграл поAB.

Свойства криволинейного интеграла.

Криволинейный интеграл 1^го рода обладает следующими свойствами.

1.

2.

3.

4.

5.

где M– некоторая средняя точка значения функцииf(x,y) на кривойAB, гдеL– длина дугиAB.

6.

Приложения криволинейного интеграла

Вычислениемассы материальной кривой по её плотности. Если плотность задана функциейf(x,y)=(m), то масса кривой

Вычисление координаты центра тяжестиматериальной кривой:

Криволинейный интеграл второго рода.

Если материальная кривая не плоская, те трехмерная и задана в параметрическом виде, то криволинейный интеграл второго рода:

Вычислим работу, совершаемую при перемещении точки по некоторой кривой АВ плоским силовым полем.

A=F*S.

1. Разобьем интервал на nчастей.

2. точки разбиения соединим отрезками прямых.

3. Положим, на каждом участке сила Fпостоянна, а путь прямолинеен.

4. Fi={p_i,q_i},Si={x_i+1-x_i,y_i+1-y_i}

5. Ai=Fi*Si= p_i(x_i+1-x_i) q_i (y_i+1-y_i)= p_i*x_i+ q_i*y_i

6. Чтобы найти А нужно просуммировать и перейти к пределу.