6.3.Интервал, радиус и область сходимости степенного ряда.

Из теоремы Абеля следует, что для любого степенного ряда найдется такое неотрицательное число , R называемое радиусом сходимости, что при всех

x, | x |< R , ряд сходится, а при всех x, | x |> R , ряд расходится.

Интервал (-R;R) называется интервалом сходимости степенного ряда .

Заметим, что для x €(-R;R) ряд сходится абсолютно, а в точках x= ± R степенной ряд может сходиться или расходиться.

Как найти радиус сходимости R? Для этого можно воспользоваться, например,

признаками Даламбера или Коши.

Теорема. Если существует | a_n+1/ a_n|=L, то R=1/L= | a_n/ a_n+1|

Док-во. Рассмотрим ряд a_nxⁿ . Применим к нему признак Даламбера.

| a_n+1xⁿ⁺¹/ a_nxⁿ|= | a_n+1/ a_n|∙| x | =L∙| x |

Отсюда следует, что если L∙| x |<1, т,е. если | x |<1/L , то ряд сходится абсолютно. Если L∙| x |>1, то ряд расходится. Теорема доказана.

Заметим, что если L=0, для любого | x | то R=∞ .

Если L=∞, для любого x≠0 , то R=0 . Если R=0 , то ряд сходится в единственной точке x₀=0; если R=∞, то ряд сходится на всей числовой прямой.

Итак, интервал сходимости ряда a_nxⁿ есть (-R;R) . Для нахождения области сходимости ряда надо отдельно исследовать сходимость в точках x=R и x=-R; в зависимости от результатов этого исследования областью сходимости ряда может

быть один из промежутков: [-R;R],(-R;R),[-R;R),(-R;R]