2.4. Интегрирование по частям и б)замена переменной в неопределенном интеграле. J – знак интеграла

А)Теорема. Пусть U(x), V(x) – дифференцируемые функции на некотором промежутке Х и на этом промежутке существует J VdU, тогда на нем существует J UdV и имеет место J UdV= UV – J VdU.

Док-во. Найдем дифференциал от произведения функции UdV.

d(VU)=(UV)’dx–(U’V+UV’)dx=VU’dx+UV’dx=VdU+UdV;d(UV)=VdU+UdV; UdV=D(UV) – VdU; проинтегрируем обе части этого рав-ва: J UdV=J d(UV) – JVdU;

J UdV= UV- J VdU

Большую часть интегралов, которую находят с помощью формулы интегрирования можно разделить на 3 группы:

I. J P(x) arcsinxdx

J P(x) arccosxdx

J P(x) arctgxdx

J P(x) arcctgxdx

за U берем обратную тригонометрическую функцию

II. J P(x)sinαxdx; J P(x) cosαxdx; J P(x) e^αxdx – за U берем P(x)

III. J e^αx*sinβxdx; Je^αxcosβxdx – за U- любую тригонометрическ. Функцию. В этом случае интегриров. по частям след. примен. дважды.

Б) Метод подстановки заключается в том, что переменную интегрирования х заменяют другой переменной t при помощи формулы t=Y(x), где Y(x) - дифференцир. фун-ция. Можно производить замену выражая не t через х, а х через t с помощью формулы x=ψ(t),