Фурье-преобразование

Формулы (7.27) и (7.28) выражают так называемое фурье-преобразование функции f(x). Отметим, что комплексная экспонента в формулах имеет разные знаки.

Для одномерного объекта с распределением интенсивности f(x) прямое фурье-преобразование позволяет найти частотную или спектральную характеристику. Это значит, что интенсивность объекта представляется в виде бесконечно большого набора гармонических составляющих всех пространственных частот , а модуль выражает ту долю, которая приходится на каждое выбранное значение частоты, т. е. выражает спектральную плотность.

Обратное фурье-преобразование позволяет восстановить распределение интенсивности по спектральной характеристике объекта.

Фурье-преобразования позволяют упростить расчеты распределения интенсивности в изображении, если известны распределение интенсивности в объекте и функция рассеяния системы.

Воспользуемся известной теоремой, которая формулируется так: фурье-преобразование некоторой функции, являющейся сверткой других функций, равно произведению фурье-преобра- зований функций, подвергаемых свертке.

Докажем эту теорему применительно к рассмотренному ранее примеру свертки, а именно к выражению интенсивности I_i(x) в точке изображения. Для формулы (7.11) напишем фурье-преобразование обеих частей равенства:

(7.29)

Обозначим I_i() фурье-преобразование фунукции I_i(x), а в правой части равенства (7.29) выберем следующий порядок интегрирования:

(7.30)

Во внутреннем интеграле правой части (7.30) введем новую переменную x = x – . Тогда

и равенство (7.30) приобретет вид

(7.31)

т. е. действительно І_i() равно произведению фурье-преобра- зований функций, связанных операцией свертки (в данном случае функции распределения интенсивности в объекте и функции рассеяния).