6.2.Теорема Абеля.

1) Если степенной ряд   a_nxⁿ сходится при x=x₀, то он сходится причем абсолютно для всех x , удовлетворяющих неравенству |x|<|x₀|

2) Если же ряд a_nxⁿ расходится при x=x_{1 ,} то он расходится при всех x , удовлетворяющих условию |x|>|x₁|

Док-во (основано на свойствах последовательностей).

1)Так как числовой ряд a_nx₀ⁿ сходится, то a_nx₀ⁿ =0. Это означает, что числовая последовательность {a_nx₀ⁿ} ограничена.Тогда перепишем степенной ряд в виде

a₀ + a₁x₀ (x/x₀) + a₂x₀²(x²/x₀²) +…+…= a_nx₀ⁿ (x/x₀)²

Рассмотрим ряд из абсолютных величин.

|a₀| + |a₁x₀ (x/x₀) | + |a₂x₀²(x²/x₀²) | +…+…<= M + M| x/x₀| + M| x/x₀|² +…= M(1+q+ q²+…)

Это геометрическая прогрессия с q=(x/x₀)<1—сходится. Из признака сравнения следует абсолютная сходимость степенного ряда.

2) 2-ая часть теоремы. От противного. Пусть степенной ряд сходится при некотором x^*, | x^*|> x_1. Но тогда согласно 1-ой части теоремы, степенной ряд сходится для всех | x |< x^* . В том числе должен сходится

и при x= x₀, так как | x |< | x^*| . Но это противоречит

предположению теоремы. Теорема доказана.