2.2.1. Асимптотические свойства решения смешанной задачи для квазилинейного скалярного закона сохранения

Исследуем поведение при больших значениях времени обобщенного решения смешанной задачи в четверти плоскости для уравнения (1.12) с начальным условием

(2.4)

и краевым условием

, . (2.5)

Предполагаем, что функция потока является дважды гладкой и выпуклой вниз ; начальная функция является ограниченной и измеримой на полупрямой ; граничная функция является ограниченной и измеримой на полупрямой . Краевое условие (3) понимается в следующем смысле: требуется, чтобы на границе выполнялось одно из условий, представленных в (2.3).

Само решение должно удовлетворять энтропийному неравенству

. (2.6)

Смешанная задача (1.12), (2.4) – (2.6) рассматривалась в работах [13], [14]. Теория корректности задачи (1.12), (2.4) – (2.6) была построена в работе [6]. Таким образом, приведём теорему из работы [6], удовлетворяющую нашим условиям:

Теорема 2.1. В указанных предположениях существует кусочно-непрерывная функция , имеющая левый и правый пределы в каждой точке по переменным и , имеющая на полупрямых и ограниченные измеримые следы, которая удовлетворяет условиям (1.12), (2.4)-(2.6). Верна оценка

. (2.7)

Для исследования асимптотики применим «явную» формулу из работы [6], являющуюся аналогом явной формулы для решения задачи Коши, полученной в работах [4], [5].

Рассмотрим преобразование Лежандра выпуклой вниз функции :

Функция также является выпуклой вниз и , .

В случае задачи Коши

,

,

определим функционал

. (2.8)

Тогда решение задачи Коши определяется формулой

, (2.9)

где есть точка минимума функционала : точнее

.

В случае смешанной задачи функционал имеет вид

(2.10)

где ─ это точка пересечения с осью отрезка, соединяющего точку с точкой , которая определяется из соотношения

.

Тогда решение задачи (1.12), (2.4) – (2.6) снова определяется формулой (2.9).

Рассмотрим простейшие граничные условия

,

Предположим, что

при равномерно по .(2.11)

Теорема 2.2. Пусть . Тогда при равномерно по , где ─ решение задачи о распаде разрыва для уравнения (1.12) с начальной функцией :

Теорема 2.3. Пусть , . Если , то равномерно по . Если , то существует непрерывная функция , , такая, что , равномерно по , где

Доказательство. Заметим, что при функционал для решения смешанной задачи совпадает с функционалом для решения задачи Коши. Если , то в силу пункта . Проведём характеристики через точки границы до пересечения с начальной прямой в точках и доопределим Тогда Таким образом функционал из формулы (2.10) для решения смешанной задачи будет заменён равным функционалом из формулы (2.8) для решения задачи Коши. Если же , то согласно пунктам и из (2.3) значения на границе не оказывают влияния на поведение решения в первом квадранте.

Решение краевой задачи при совпадает с решением задачи Коши для уравнения (1.12) с построенной указанным выше образом начальной функцией

Поэтому достаточно установить асимптотику при функции . Воспользуемся результатами из [7].

Пусть ,тогда верна теорема 2 из работы Н.С. Петросян [7]:

при равномерно по x ∈ R, где

где - обратная функция.

Пусть . Тогда верна теорема 1 из работы Петросян [7]: при равномерно по , где

, .

Заметим, что если , то при .

В силу совпадения с при получаем утверждения теорем 1 и 2.