32.Эллипсоид, конус и гиперболоиды.
Эллипсоид.
Рассмотрим сечение поверхности с плоскостями, параллельными xOy. Уравнения таких плоскостей z=h, где h – любое число. Линия, получаемая в сечении, определяется двумя уравнениями:
Если |h|>c, c>0, то точек пересечения поверхности с плоскостями z=h нет.
Если |h|=c, т.е. h=±c, то . Линия пересечения вырождается в две точки (0;0;с) и (0;0;-с). Плоскости z=c и z=–c касаются поверхности.
Если |h|<c, то уравнения можно переписать в виде:
Линия пересечения есть эллипс с полуосями.
Эллипсоид – замкнутая овальная поверхность, где a,b,с – полуоси. Если все они различны, то эллипсоид называется трехосным. Если какие-либо две полуоси равны, то тело называется эллипсоид вращения, если a=b=c, то тело называется сферой x2+y2+z2=R2
Однополостный гиперболоид.
Пересекая поверхность плоскостью z=h, получим линию пересечения, уравнения которой имеют вид.
Полуоси достигают своего наименьшего значения при h=0, a1=a, b1=b. При возрастании |h| полуоси будут увеличиваться.
Если пересекать поверхность плоскостями x=h или y=h, то в сечении получим гиперболы. Найдем линию пересечения поверхности с плоскостью Oyx, уравнение которой x=0. Эта линия пересечения описывается уравнениями:
Поверхность имеет форму бесконечно расширяющейся трубки и называется однополостным гиперболоидом.
Двуполостный гиперболоид.
Если поверхность пересечь плоскостями z=h, то линия пересечение уравнениями
Если |h|<c, то плоскости z=h не пересекаются.
Если |h|=c, то плоскости h=±c касаются данной поверхности соответственно в точках (0;0;с) и (0;0;-с).
Если |h|>c, то уравнения можно переписать в виде:
Эти уравнения определяют эллипс, полуоси которого возрастают с ростом |h|.
У обеих гипербол действительной осью является ось oz. Метод сечения позволяет изобразить поверхность, состоящую из двух полостей, имеющих форму двух неограниченных чаш. Поверхность называется двуполостным гиперболоидом.
Конус.
Поверхность, образованная прямыми линиями, проходящими через данную точку Р и пересекающими данную плоскую линию L (не проходящую через Р) называется конической поверхностью или конусом. При этом линия L называется направляющей конуса, точка Р – ее вершиной, а прямая, описывающая поверхность, называется образующей.
- уравнение конуса
- 1.Направленный отрезок и вектор. Длина отрезка, деление отрезка в данном отношении.
- 2.Векторы и линейные операции над ними.
- 3.Проекция вектора на ось.
- 4.Базис. Координаты вектора.
- 5..Аффинные координаты. Декартовы прямоугольные координаты.
- 6..Скалярное произведение векторов и его свойства.
- 7.. Векторное произведение векторов и его свойства.
- 8..Смешанное произведение векторов и его свойства.
- 9.Преобразование декартовых прямоугольных координат на плоскости.
- 10.Линии на плоскости и их уравнения в координатах. Параметрические уравнения линии.
- 11.Полярные координаты.
- 12.Общее уравнение прямой на плоскости, геометрический смысл его коэффициентов.
- 13.Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Уравнение прямой в отрезках.
- 15.Взаимное расположение пары прямых на плоскости и угол между ними.
- 16.Расстояние от точки до прямой.
- 17. Уравнение пучка прямых
- 18.Канонические уравнения линий второго порядка.
- 1 9.Каноническое уравнение эллипса (с выводом уравнения).
- 20.Канонические уравнения гипербола и параболы.
- 21. Эксцентриситет и директрисы линий второго порядка.
- 23. Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду.
- 24.Уравнения прямой в пространстве.
- 25.Различные виды уравнений плоскости.
- 26.Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
- 27.Взаимное расположение прямых в пространстве.
- 28.Взаимное расположение плоскостей в пространстве.
- 29.Нормальное уравнение плоскости.
- 30.Уравнение пучка плоскостей.
- 32.Эллипсоид, конус и гиперболоиды.
- 33.Параболоиды и цилиндрические поверхности.
- 34.Общее понятия о евклидовой, аффинной и проективной геометриях.
- 35. Основные понятия неевклидовой геометрии.
- 36.Многомерное пространство и координаты в нем.
- 37.Подпространства и выпуклые множества в многомерном пространстве. Выпуклые многогранники.
- 38.Подпространство, заданное системой линейных уравнений. Выпуклые подмножества и системы линейных неравенств.
- 39. Матрицы, виды матриц. Линейные операции над матрицами, их свойства. Умножение матриц, его свойства. Транспонирование матриц.
- 40.Определители матриц 1 и 2 порядков. Миноры и алгебраические дополнения элементов квадратных матриц. Вычисления определителя разложением по элементам строки или столбца.
- 41.Свойства определителей.
- 42. Вычисление определителей с применением свойств определителей.
- 44.Нахождение обратной матрицы методом «прямоугольника».
- 45. Элементарные преобразования матриц.
- 46.Ранг матрицы.
- 47.Метод обратной матрицы для решения слу. Метод обратной матрицы
- 49.Правило Крамера.
- 50. Метод Гаусса, прямой и обратный ход.
- 51. Теорема Кронекера-Капелли
- 52. Системы однородных линейных уравнений, фундаментальная система решений.
- 53. Неоднородные системы линейных уравнений. Структура их решений.
- 54. Системы линейных неравенств и геометрическое представление их решений.
- 56.Модуль и аргумент. Геометрическая интерпретация. Формула Муавра.
- 57. Извлечение корней комплексного числа. Корни из единицы.
- 58. Понятие многочлена и операции над ним.
- 59. Корни многочлена. Основная теорема алгебры Разложение многочлена на простые множители.
- 60. Многочлены с действительными коэффициентами.